甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三级最后一模

文科数学试题

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

（1） 设全集U=R，集合
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

（2）复数的共轭复数是

A．－i B.i C．－i D．i

（3）不等式＞0的解集是（A）(－2，1)∪(2，＋∞) （B）(2，＋∞)（C）(－2，1) （D）(－∞，－2)∪(1，＋∞)

（4）执行右面的程序框图，若输出的k＝2，则输入x的取值范围是（A）(21，41) （B）[21，41]（C）(21，41] （D）[21，41)

（5）“
”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

（6）函数f(x)＝(x＋2)3－()x的零点所在区间是（A）(－2，－1) （B）(－1，0)（C）(0，1) （D）(1，2)

（7）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c+a）∥b，c⊥（b+a），则c=

（A）（，） （B）（，）（C）（，） （D）（－，－）

（8）已知某锥体的正视图和侧视图如右图所示，其体积为
，则该锥体的俯视图可以是

A． B． C． D．

（9）已知等比数列{an}的前n项和为Sn， a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则＝（A）4n－1 （B）4n－1（C）2n－1 （D）2n－1

（10）已知函数f(x)＝cos(2x＋)，g(x)＝sin(2x＋)，将f(x)的图象经过下列哪种变换可以与g(x)的图象重合（A）向右平移 （B）向左平移（C）向左平移 （D）向右平移

（11）过双曲线－＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（A） （B）2 （C） （D）

（12）函数，其图像的对称中心是

（A）（1，－1） （B）（－1，1）（C）（0，1） （D）（0，－1）

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

（13）如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分

的面积约为

（14）已知函数
若
，则
的取值范围是 .

（15）若点P是椭圆
上的动点,则P到直线
的距离的最大值是 .

（16）△ABC的顶点A在圆O：x2＋y2＝1上，B，C两点在直线x+y+3=0上，来源学高考

若|
－
|＝4，则△ABC面积的最小值为_____．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

在
中，内角
所对的边分别为
已知
，

（Ⅰ）求角
的取值范围；

（Ⅱ）若
的面积
，
为钝角，求角
的大小．

（18）（本小题满分12分）

某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：





甲



乙













9

7

0

7

8







6

3

3

1

1

0

5

7

9







8

3

2

1

3







（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；

（Ⅱ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．

（19）（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60?，AB⊥B1C．

（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；

（Ⅱ）若AB＝2，求三棱柱ABC-A1B1C1体积．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

（21）（本小题满分12分）

已知函数 x轴是函数图象的一条切线．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）已知 ．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2．

（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos(θ＋)＝距离的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设f(x)＝|x－3|＋|x－4|．

（Ⅰ）解不等式f(x)≤2；

（Ⅱ）若存在实数x满足f(x)≤ax－1，试求实数a的取值范围．

参考答案

一、选择题：

BCACC BDDDA AC

二、填空题：

（13）4.6 ； （14）
； （15）
； （16）1．

三、解答题：

（17）解：（Ⅰ）由
得

即

因为
所以
……………3分

由正弦定理，得
故
必为锐角。 ……………4分

又
,所以
……………6分

因此角
的取值范围为
……………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）及
得

又因为
,所以
从而

因为
为钝角，故
……………9分

由余弦定理，得

故
…………10分w w w .x k b 1.c o m

由正弦定理，得
因此
………12分

（18）解：（Ⅰ）

甲＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，

乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，

s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，

s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．

甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分

（Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为：

7，8，10，15，17，19． ……………………………7分

从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：

(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，

(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，

(10，15)，(10，17)，(10，19)，

(15，17)，(15，19)，

(17，19)，

共15种可能， ……………………………9分

其中恰好有1场得分在10分以下的情形是：

(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，

(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，

共8种可能，所求概率P＝． ……………………………12分

（19）解：

（Ⅰ）由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1．

又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，

又AB?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥BB1C1C． …4分



（Ⅱ）设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1．

由（Ⅰ）知，CO⊥平面ABB1A1，且CO＝BC＝AB＝．

连结AB1，则VC-ABB1＝S△ABB1·CO＝AB2·CO＝． …8分

因VB1-ABC＝VC-ABB1＝VABC-A1B1C1＝，

故三棱柱ABC-A1B1C1的体积VABC-A1B1C1＝2． ………………………12分

（20）解：

（Ⅰ）由题设，得＋＝1， ①

且＝， ②

由①、②解得a2＝6，b2＝3，

椭圆C的方程为＋＝1．………………………………………………5分

（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得

(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，

－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．

设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，

同理得x2＝．………………………………………………9分

因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

故kPQ＝＝＝＝＝1，

因此直线PQ的斜率为定值． ……………………………………………12分

（21）解：（Ⅰ）f?(x) =

当x∈(0，a)时，f?(x)＜0，f(x)单调递减，

当x∈(a，＋∞)时，f?(x)＞0，f(x)单调递增． …………………………2分

∵ x轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a，0）．

f(a)=lna＋1=0，可知a=1. ……………………………5分

（Ⅱ）令1＋，由x>0得知t>1，，于是原不等式等价于：

. ……………………………7分

取，由（Ⅰ）知：

当t∈(0，1)时，g?(t)＜0，g(t)单调递减，

当t∈(1，＋∞)时，g?(t)＞0，g(t)单调递增．

∴ g (t)> g (1)=0，也就是.

∴ . ……………………………12分

（22）证明：

（Ⅰ）连接OE，因为D为的中点，E为BC的中点，所以OED三点共线．

因为E为BC的中点且O为AC的中点，所以OE∥AB，故DE∥AB．

（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，又∠BAD＝∠DCB?∠DAC＝∠DCB．

又因为AD⊥DC，DE⊥CE?△DAC∽△ECD．

?＝?AD·CD＝AC·CE

? 2AD·CD＝AC·2CE

? 2AD·CD＝AC·BC．

（23）解：

（Ⅰ）设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有

ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4． ……………………………3分

消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ． ………………………5分

（Ⅱ）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得

C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2． ………………………… …7分

C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝，

故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋． ………………………10分

（24）（Ⅰ）f(x)＝|x－3|＋|x－4|＝ ………………………2分

作函数y＝f(x)的图象，它与直线y＝2交点的横坐标为和，由图象知

不等式f(x)≤2的解集为[，]． ………………………5分



（Ⅱ）函数y＝ax－1的图象是过点(0，－1)的直线．

当且仅当函数y＝f(x)与直线y＝ax－1有公共点时，存在题设的x．

由图象知，a取值范围为(－∞，－2)∪[，＋∞)． …………………10分

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