厦门双十中学5月热身卷理科数学 　

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]

1．设全集
，集合
，
，则
( )

A．
　 B．
C．
D．

2. 已知圆
及以下３个函数：①
；②
；③
其中图像能等分圆
面积的函数有（ ）

A．
个 B.
个 C.
个 D.
个

3.下列结论错误的是( )

A.命题“若
，则
”的逆否命题为“若
”

B.“
”是“
”的充分不必要条件

C.已知命题
“若
，则方程
有实根”,则命题
的否定
为真命题

D.命题“若
，则
”的否命题是“若
”

4．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数
值的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

6.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x(cm)

174

176

176

176

178



儿子身高y(cm)

175

175

176

177

177



则y对x的线性回归方程为( )

A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝176

7．把函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是( )

8. 已知方程|x–2n|-k
=0（
）在区间[2n–1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A．
B．0

9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2AA1=4，点O是底面ABCD的中心，

点E是A1D1的中点，点P是底面ABCD上的动点，且到直线OE的距离等于1，

对于点P的轨迹，下列说法正确的是（　　）

A.离心率为
的椭圆 B.离心率为
的椭圆 C.一段抛物线 D.半径等于1的圆

10.已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f：M→N，且点A（0，f（0）），B（i，f（i）），C（i+1，f（i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC的内切圆圆心为
，且满足
，则满足条件的
有（　　）

A． 10个 B． 12个 C． 18个 D． 24个

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11. 已知复数
的实部为
，且
，则复数
的虚部是 .

12. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .

13. 某初中校共有学生1200名，各年级男、女生人数如右表，已知在全校

学生中随机抽取l名，抽到八年级女生的概率是0.18，现用分层抽样

的方法在全校抽取200名学生，则在九年级应抽取 名学生.

14. 已知
满足约束条件
,则目标函数
的取值范围

15. 已知
中令
就可以求出常数，即
.

请你研究其中蕴含的解题方法研究下列问题

若
，即
，则
=

16.(本题满分13分)

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE； （Ⅱ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．

17.(本题满分13分)

如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，地面观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得最高点H的仰角为30°.(声音的传播速度为340米/秒)

（Ⅰ）设AC两地的距离为x千米，求x； （Ⅱ）求该仪器的垂直弹射高度CH.

18．(本题满分13分)

某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金. 曲库中歌曲足够多，不重复抽取. 比赛共分7关：前4关播放常见歌曲；第5,6关播放常见或罕见歌曲，曲库中常见歌曲与罕见歌曲数量比为1：4；第7关播放罕见歌曲.通过关卡与对应的奖金如右表所示.选手在通过每一关（最后一关除外）之后可以自主决定退出比赛或继续闯关；若退出比赛，则可获得已经通过关卡对应奖金之和；若继续闯关但闯关失败，则不获得任何奖金.

关卡

关卡奖金/元

累计奖金/元



1

1000

1000



2

2000

3000



3

3000

6000



4

4000

10000



5

8000

18000



6

12000

30000



7

20000

50000



（Ⅰ）选手甲准备参赛，在家进行自我测试：50首常见歌曲，甲能猜对40首；40首罕见歌曲，甲只能猜对2首，以他猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率最为概率.

①若比赛中，甲已顺利通过前5关，求他闯过第6关的概率是多少？

②在比赛前，甲计划若能通过第1,2,3关的任意一关，则继续；

若能通过第4关，则退出，求这种情况下甲获得奖金的数学期望；

（Ⅱ）设选手乙猜对罕见歌曲的概率为p，且他已经顺利通过前6关，

当p满足什么条件时，他选择继续闯第7关更有利？．

19．（本小题满分13分）

已知点F是抛物线
:
的焦点，点
到F的距离为2.

（Ⅰ）求抛物线方程；

（Ⅱ）设直线AB
与曲线
相交于A,B两点，若AB的中垂线与y轴的交点为
，求b的值.

（Ⅲ）抛物线
上是否存在异于点
、
的点
，使得经过
、
、
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的

切线.若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分14分）

已知
存在单调递减区间．

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）判断曲线y=f（x）在x=0的切线能否与曲线
相切？若存在，求出a，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求证：
．

21.(1)已知矩阵
的逆矩阵
.

(Ⅰ)求矩阵A的逆矩阵；（Ⅱ）若矩阵
满足
,求矩阵X.

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为
（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

(3)选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.

(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1, 2]，求a的取值范围.

理科数学答案

1.【解析】
，所以
，所以

，选B.

2.解：①与②都是奇函数，满足题意，③是偶函数，且f(0)=0，所以不符合题意.

3.【解析】虽然对“若…则…”结构命题的“否定”我们现在写不出，但并不妨碍我们对其否定进行判断.

命题
“若
，则方程
有实根”，
，所以p为真，则
一定是 .

4.∵等比数列{an}中，a2＝1，∴S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋.

当公比q＞0时，S3＝1＋q＋≥1＋2 ＝3，

当公比q＜0时，S3＝1－≤1－2 ＝－1，

∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案　D

5.由题意知
。当
时，由
，得
，解得
。当
时，由
，得
，所以输入的实数
值的个数为3个，选C.

6.解析　因为＝＝176，＝＝176，

又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(，)，所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C.

7.
，再用五点作图.A

8.解观察发现令n=1进行检验，转化为
在
上有两交点的条件.

只需满足B在A下方（包括重合）,
，且k>0,只有B满足

9.解1：先不考虑点P在平面上，由点P到OE的距离为1，则P的轨迹是空间中以OE为旋转轴，半径为1的圆柱，又被底面所截，所以点P的轨迹为椭圆，作EF⊥AD于点F，则EF=OF=2，△OEF为等腰直角三角形，得轴OE与平面ABCD所成的角为45°，知点P的轨迹是椭圆，而半长轴长a＝2，b=1,则c=1,所以
.

解2：利用向量“投影” 研究点到线距离,

点P到OE的距离=

如图建立坐标系,…

解3：利用“三垂线定理”，过P作OF垂线PG，则
平面 ，过G作GH垂直OE，连接PH，则PH

如图建立坐标系,…

10. 选C.设
为AC中点，则
，所以AC边上的中线与角平分线重合，知△ABC是以B为顶点的等腰三角形，A点是4×4的格点第一列中的点．

①当i=1时，B点是第二列格点中的点，C点是第三列格点中的点，

此时腰长为
、
、
的△ABC分别有6个、4个、2个，

②当i=2时，B点是第三列格点中的点，C点是第四列格点中的点，

此时腰长为
的△ABC分别有6个，满足条件的△ABC共有18个．

11.解：设

12.

13.解：
，则
，则

（在样本中的比例与总体中的比例 ）

14.由
得，
。作出不等式对应的区域，，平移直线
，

由图象可知，当直线
经过A(-1,1)时，
的截距最小，
=-1，所以

15.解：对

两边求导：
令x=0得：

再两边求导：
令x=0得：

再两边求导：
令x=0得：

…

猜想：

所以
，所以

16.解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF
平面ACD，∴DE⊥AF．

又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，

因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE. ……………… 4分

（Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，

则F（0，0，0），C（
，0，0），A（0，0，
），B（0，1，
），E（1，2，0）．

………………6分

设面BCE的法向量
，则
即
取
．

又平面ACD的一个法向量为
，

∴
．∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．-----13分

17. （Ⅰ）解　由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－×340＝x－40，----------------2分

在△ABC内，由余弦定理：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，------4分

即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420.-------------------------------6分

答:AC两地相距420米.

（Ⅱ）在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，---8分

由正弦定理：＝，-----------------------------------------10分

可得|CH|＝|AC|·＝140.-----------------------------------------12分

答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米．----------------------------------------13分

19.解：（Ⅰ）准线：
，依抛物线定义可知，
，所以抛物线为
----3分

（Ⅱ） 由
，

所以
的中点为
，所以AB的中垂线为

依题意可知
在垂线上，所以
----------------------------------7分

(2) 由（Ⅱ）
,假设抛物线
上存在异于点
、
的点
，满足题意

令圆的圆心为
，则由
得

得
，（或者用中垂线交点求出圆心坐标）------10分

因为抛物线
在点
处的切线斜率
，--------------------------11分

又该切线与
垂直，所以

所以

因为
，所以
.故存在点
且坐标为
.--------------------------------------13分

21.（1）解：(Ⅰ)
所以
--------------------------3分

（Ⅱ）
-----7分

2014双十中学热身卷理科数学

20.（Ⅰ）解1：
，令
，则

①
时，
恒成立，所以
在
上单调递增，不符合题意；

②
时，

所以
在
单调递增，在
单调递减，符合题意.

解2：
，依题意可知，
在
有解

①
时，
在
无解，不符合题意；

②
时，

（Ⅱ）
，f（0）=﹣1;∴曲线y=f（x）在x=0的切线l的方程为
．

假设l