厦门外国语学校

2015届高三适应性考试数学（文科）试卷

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、

学号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.

1．已知直线
经过抛物线
的焦点，则该直线的倾斜角为 （ ）

A．
B．
C．
D．

2. 在复平面上，复数
与复数
关于实轴对称，则
的值为 （　　）

A．
B．
C．
D．

3．
是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为

可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个

监测点统计的数据（单位：毫克／每立方米）列出的茎

叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 ( )

A．甲 B．乙

C．甲乙相等 D．无法确定

4. 已知命题
：对任意
，总有
；命题
：
是
的充分不必要条件，则下列

命题为真命题的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．函数
的部分图象如图

所示，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知平面
和直线
，给出条件：①
；②
；

③
；④
；⑤
．为使
，应选择下面四个

选项中的 （ ）

A．③⑤ B．①⑤ C．①④ D．②⑤

7. 已知函数
的值域为
， 则函数
的定义域为 （　　）．A．
B．
C．
D．

8. 已知数列
，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项的值S，

则判断框内的条件是 （ ）

A．
B．

C．
D．

9. 在圆的直径上任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的

内接等边三角形的边长的概率为 ( )

A．
B．
C．
D．

10．已知双曲线
的渐近线与圆
相交， 则该双曲线的离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．
（ ）

11.
的外接圆圆心为
,半径为2，
, 且
,
方向上的

投影为 ( )　

A．
B．
C．
D．

12. 在正方体
中，点
为底面
上的动点. 若三棱锥
的表面积最大，则
点位于 （ ）

A．点
处 B．线段
的中点处 C．线段
的中点处 D．点
处

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13. 已知集合

，那么
.

14．记等比数列
的前
项积为
，若
，则

15. 已知函数
（
为正实数）只有一个零点，则
的最小值为_______.

16．对于映射
，若
中的不同元素有不同的象，且
中的每一个元素都有原象，则称

为一一映射，若存在对应关系
，使
到
成为一一映射，则称
到
具有相同的势，给出下列命题：

①
是奇数集，
是偶数集，则
和
具有相同的势；

②
是平面直角坐标系内所有点形成的集合，
是复数集，则
和
不具有相同的势；

③若区间
，则
和
具有相同的势。

其中正确命题的序号是

三、解答题：本大题共6小题，满分74分.

17.（本小题满分12分）

某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）

的数据如下表：

月份x

1

2

3

4

5




（百件）

4

4

5

6

6



（Ⅰ）该同学为了求出
关于
的回归方程
，根据表中数据已经正确算出
，试求出
的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）

（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的2件和3月份进货的3件产品，顾客甲从零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品均有质量问题。求顾客甲所购买的3件产品中恰有一件产品存在质量问题的概率.

18.（本小题满分12分）

设函数
，其中角
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴非负半轴重合，

终边经过点
，且
．

　　（Ⅰ）若点
的坐标为
，求
的值；

（Ⅱ）若点
为平面区域
上的一个动点，试确定角
的取值范围，

并求函数
的最小值和最大值．

19.（本小题满分12分）

已知直角梯形
中,
,且
, 过
作
,垂足为
,
分别为
的中点，,现将
沿
折叠,使得
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）设四棱锥
的体积为
，其外接球体积为
，求
的值.

20.（本小题满分12分）

如图，过抛物线
的焦点
作斜率为
的直线交
于
两点，

且

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）
是
上的两动点，
的纵坐标之和为1，
的垂直平分线交
轴于点
,

试确定
的坐标并求此时
的面积的最小值．

21. （本小题满分12分）

某城市决定对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房。 第一年建新住房
，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少
；已知旧住房总面积为32
，每年拆除的数量相同。

（Ⅰ）若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是

多少
？

（Ⅱ）求前

年新建住房总面积
.

22. （本小题满分14分）

设函数
，
.

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
值；

（Ⅱ）若对任意
，
恒成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）已知函数
在
处取得极小值，不等式
的解集为
，若
，

且
，求实数
的取值范围.

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2015届高三适应性考试数学（文科）试卷答案

选择题：D A A D C D D B C C C A

二．填空题：13.{1，-1} 14. 16 15.
16. ①③

三． 17.（本小题满分12分）

（Ⅰ）

且
，代入回归直线方程可得

（Ⅱ） 记“顾客甲所购买的3件产品中恰有一件产品存在质量问题”的事件为M.

设零售商2月份存货为
; 3月份存货为
，

顾客甲所购买的3件产品的事件分别为：
、
、
、
、
、

、
、
、
、
共10种；

其中恰有一件产品存在问题的事件为：
、
、
、
、
、

共6种。

所以所购买的3件产品中恰有一件产品存在质量问题的概率

18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）因为
的坐标为
，则

．

（Ⅱ）作出平面区域
，则
为图中的
的区域，其中
，
，
．

因为
，所以
．
，则
，

所以
，
．

所以当
，即
时，
取得最大值，且最大值为
；

当
，即
时，
取得最小值，且最小值为
．

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：取
中点
,连接
,

，
,
，

,

（Ⅱ）由条件得
， 又外接球半径

所以
即：

20.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设
由
消去
，

得
（*）

由题设，
是方程（*）的两实根，所以

故

（Ⅱ）设
,因为
在
的垂直平分线上，

所以

得
，又

所以
即

而
，所以
又因为
，所以
故

因此
由（1）得

因此，当
时，
有最小值3.

21. （本小题满分12分）

（I）10年后新建住房总面积为

。

设每年拆除的旧住房为

解得
,即每年拆除的旧住房面积是

（Ⅱ）设第
年新建住房面积为
，则
=

所以当