泉州一中2015届高中毕业班5月模拟质检

数学（文科）试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

锥体体积公式
其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式
其中
为底面面积，
为高

球的表面积、体积公式
其中
为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合
，则下列结论正确的是

A．
B．
C．
D．

2．下列说法正确的是

A．“若
，则
”的逆命题为真

B．
为实数，若
，则

C．命题
：
，使得
，则
：
，使得

D．若命题
为真，则
假
真

3．设向量
、
均为单位向量，且
，则
、
的夹角为

A．
B．
C．
D．

4．设变量
、
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为

A.-2 B.0 C.1 D.2

5．已知函数
，则

A．
为偶函数且最小正周期为
B.
为奇函数且最小正周期为

C.
为偶函数且最小正周期为
D.
为奇函数且最小正周期为

6．已知
表示两个互相垂直的平面，
表示一对异面直线，

则
的一个充分条件是

A.
B.

C.
D.

7．执行如右图1所示的程序框图，则输出
的值是

A．10 B．17

C．26 D．28

8．设图2是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．

B．

C.

D.

9．已知抛物线
，过其焦点
作倾斜角为
的直线
，若
与抛物线交于
、
两点，则弦
的长为

A.
B. 2 C.4 D. 8

10．在
中，
，
，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

11．设函数
若
,则实数
的取值范围是

A．
B.

C．
D．

12．已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、右焦点分别为
、
, 这两条曲线在第一象限的交点为
,
是以
为底边的等腰三角形.若
, 椭圆与双曲线的离心率分别为
、
, 则
的取值范围为

A．
B.
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上.）

13．
是虚数单位，复数
的模为__________.

14．已知
、
、
分别为
三个内角
、
、
的对边，

则角
__________.

15．已知
，
且满足
，则
的最小值为_____________.

16．定义在实数集
上的函数
的图象是连续不断的，若对任意实数
，存在实数
使得
恒成立，则称
是一个“关于
的函数”.给出下列“关于
的函数”的结论：

①
是常数函数中唯一一个“关于
的函数”；

②“关于
的函数”至少有一个零点；

③
是一个“关于
的函数”．

其中正确结论的序号是__________.

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）

已知数列
是等差数列且公差
，
，
，
为
和
的等比中项．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

18．（本小题满分12分）

已知函数
的图像过点
，

（Ⅰ）若角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，其终边过点
，

求
的值；

（Ⅱ）求函数
的最值.

19．（本小题满分12分）

某校高三年有375名学生，其中男生150人，女生225人.为调查该校高三年学生每天课外阅读的平均时间（单位：小时），采用分层抽样的方法从中随机抽取25人获得样本数据，该样本数据的频率分布直方图如下图.

（Ⅰ）应抽取男生多少人? 并根据样本数据，估计该校高三年学生每天课外阅读的平均时间；

（Ⅱ）在这25个样本中，从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生中任意抽取两人，求抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率.

20．（本小题满分12分）

如图所示，几何体
中，
为正三角形，
⊥
,
,
,

（Ⅰ）在线段
上找一点
，使
平面
，并证明；

（Ⅱ）求证：面

面
.

21．（本小题满分12分）

已知圆
的圆心在直线
上

（Ⅰ）若圆经过
和
两点．

i）求圆
的方程；

ii）设圆
与
轴另一交点为
，直线
过点
且与圆
相切．设
是圆
上异于
的动点，直线
与直线
交于点
．试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）设点
，若圆C半径为
，且圆
上存在点
，使
，求圆心
的横坐标的取值范围．

22．（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
在点

处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）若函数
有两个极值点
和
，设过
，
的直线的斜率为
，求证：
．

泉州一中2015届高中毕业班5月模拟质检

数学（文科）试卷参考答案及评分 标准

一、选择题

1-5 D D C C A 6-10 D B D D C 11-12 B A

二、填空题

13.
14.
15.
16. ②

三、解答题

17．（本小题满分12分）

已知数列
是等差数列且公差
，
，
，
为
和
的等比中项．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

解：（Ⅰ）
，
为
和
的等比中项．

，即
，……………………………………… 2分

化简得
……………………………………… 4分

，解得

；………………………………………6分

（Ⅱ）

，………………………………………8分

=
.……………………………12分

18．（本小题满分12分）

已知函数
的图像过点
，

（Ⅰ）若角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，其终边过点
，

求
的值；

（Ⅱ）求函数
的最值.

解：（Ⅰ）
函数
的图像过点
，

………………………………………………………………………… 2分

即点
，
，

……………………………………… 4分

.………………………………6分;

（Ⅱ）
,…………………………………………………………7分

,

,………………………………………8分

当
时，即
时，
，………………………10分

当
时，即
时，
.………………………12分

19．（本小题满分12分）

某校高三年有375名学生，其中男生150人，女生225人.为调查该校高三年学生每天课外阅读的平均时间（单位：小时），采用分层抽样的方法从中随机抽取25人获得样本数据，该样本数据的频率分布直方图如下图.

（Ⅰ）应抽取男生多少人? 并根据样本数据，估计该校高三年学生每天课外阅读的平均时间；

（Ⅱ）在这25个样本中，从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生中任意抽取两人，求抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率.

解：应抽取男生
人，……………………………………………… 2分

该校高三年学生每天课外阅读的平均时间为

，

………………………………………………………………………………………… 5分

（Ⅱ）从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生有6人，…………………………… 6分

其中读平均时间不少于2小时有3人，………………………… 7分

令这三人分别为
.另外三人为
，

设抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时为事件
，………………………………………………………………………………… 8分

从中抽中的这两个人所有情况为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共15种，

………………………………………………………………………………………… 10分

这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的情况为
，
，
，
，
，