厦门外国语学校2015届高三适应性考试理科数学试卷

(时间：120 分钟；满分：150分)

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名．

2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数
满足：
（
是虚数单位），则
的虚部为（ ）

A．
B．
C．1 D．

2．计算sin5700＝

A．
　 B．－
　　 C．
　　 D．－

3．给出以下四个说法:

①绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距;

②线性回归直线一定经过样本中心点
;

③设随机变量ξ服从正态分布N(1,32)则p(ξ<1)=
;

④对分类变量X与Y它们的随机变量K2的观测值k越大,则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小.其中正确的说法的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知点M(-6,5)在双曲线
上,双曲线C的焦距为12,则它的渐近线方程为

A．
B．

C．
D．

5．执行右面的程序框图，若输入
，则输出的有序数对为

A．（11，12） B．（12，13）

C．（13，14） D．（13，12）

6．设函数
上既是奇函数又是减函数，则
的图象是

7．若
，则“
的图象关于
对称”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

8．已知偶函数
满足当x>0时，
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9．如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（ ）

A．2
m　　　 B．2
m　　 C．4 m　　 D．6 m

10．若
为定义在区间G上的任意两点
和任意实数
，总有
，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ）

①
，②
，③
，④

A．4 B．3 C．2 D．1

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．在各项为正数的等比数列
中，若
，则公比
；

12．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶

图，则成绩较为稳定（方差较小）的

运动员是 ．

13．已知
的展开式中
的系数与
的展开式中
的系数相等，则
_____.

14．直线
与圆
相交于A，B两点（其中a，b是实数），且
是直角三角形（O是坐标原点），则点
与点（1，0）之间距离的最小值为_______.

15．一质点从正四面体A﹣BCD的顶点A出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB由A到B，第2次运动经过棱BC由B到C，第3次运动经过棱CA由C到A，第4次经过棱AD由A到D，…对于N∈n*，第3n次运动回到点A，第3n+1次运动经过的棱与3n﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）

甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.

（I）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

（II）若左右手依次各取两球，称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

17．（本小题满分13分）

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．

（I）求证：EF
平面PAD；

（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

18．（本小题满分13分）

已知椭圆
,过其右焦点
且垂直于
轴的弦
的长度为
.

(Ⅰ)求该椭圆的离心率;

(Ⅱ)已知点
的坐标为
,椭圆上存在点
,使得圆
内切于
,求该椭圆的方程.

19．（本小题满分13分）

如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM＝60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记(AOP＝(，( ∈(0，π)．

（Ⅰ）当( ＝ 时，求点P距地面的高度PQ；

（Ⅱ）试确定( 的值，使得(MPN取得最大值．

20．（本小题满分14分）

已知函数
，

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若
且
，设
是函数
的零点.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知二阶矩阵
有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量
并有特征值
及属于特征值－1的一个特征向量
，

（Ⅰ）求矩阵
；

（Ⅱ ）求
．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数）.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程与曲线
的普通方程；

（Ⅱ ）试判断曲线
与
是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知
,不等式
的解集为

（1）求
；

（2）当
时,证明:
.

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