2015高三数学模拟试卷（理）

一、选择题（50分）

1．设
为虚数单位，则复数
对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知全集
，
，则图中阴影部分

表示的集合是（ ）

A．
Ｂ．

C．
D．

3．函数
的零点个数是( )

A.1 B.0 C.4 D.2

4．命题“若
，则
或
”的否命题是 （ ）

A．若
，则
或

B．若
，则
且

C．若
，则
或

D．若
，则
且

5．“|x－1|＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．函数
的单调递减区间为

A.
B.
C.
D.

7．在等比数列
中，若
，
，
的
项和为
，则
（ ）

A．
B．2 C．
D．

8．若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于
轴对称，则
的最小正值是

A.
B.
C.
D.

9．设
、
分别为双曲线
的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点
，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．2

10．定义一种新运算：
，已知函数
，若函数
恰有两个零点，则实数
的取值范围为 （ ）

A．（0,1） B．
C．
D．

二、填空题（20分）

11．已知集合
，集合
，则
_______．

12．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市_____家.

13．空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为
，则线段AB的长度为 .

14．如右图是某高三学生进入高中三年来第1次至14次的数学考试成绩茎叶图，

根据茎叶图计算数据的中位数是 ．

15．关于函数f(x)＝lg
(x≠0)，有下列命题：

①其图象关于y轴对称；

②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)是减函数；

③f(x)的最小值是lg 2；

④f(x)在区间(－1,0)、(2，＋∞)上是增函数；

⑤f(x)无最大值，也无最小值．

其中所有正确结论的序号是________

三、解答题（80分）

16．（本小题满分12分）在
中，已知
,
.

（1）求
与
的值；

（2）若角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
，求
，
的值.

17．（本小题满分12分）某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次



甲的成绩













乙的成绩















（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；

（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过
分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述
次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．

18.已知三棱柱
中，侧棱垂直于底面，
，
，
，
，点
在
上．

（Ⅰ） 若
是
中点，求证：
平面
；

（Ⅱ）当
时，求二面角
的余弦值

19．（本小题满分12分）设点
、
分别是椭圆
的左、右焦点,
为椭圆
上任意一点,且
的最小值为
．

（1）求椭圆
的方程;

（2）设直线
（直线
、
不重合）,若
、
均与椭圆
相切，试探究在
轴上是否存在定点
,使点
到
、
的距离之积恒为1?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由．

20．（本小题满分13分）已知函数
．

（Ⅰ）若
，求函数
的极值；

（Ⅱ）设函数
，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若存在
，使得
成立，求
的取值范围．

21．①选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵

．

（1）求
的逆矩阵
；

（2）求矩阵
的特征值
、
和对应的一个特征向量
、

②选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），在极坐标系（与直角坐标系
取相同的单位长度，且以原点
为极点，以
轴正半轴 为极轴）中，圆
的方程为
.

（1）求圆
的直角坐标方程；

（2）设圆
与直线
交于
两点，若点
坐标为
，求
.

③选修4—5：不等式选讲学

设函数
。

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）已知关于x的不等式
恒成立，求实数a的取值范围。

参考答案

一．ADDBB CBCBD

二
20
94.5 ①③④

10．由题可知，

，画出图像如图，当函数
恰有两个零点，即函数
有两个交点时，实数
的取值范围为
；

16．（1）
，
， 又
，
.

，且
，
. 6分

（2）由正弦定理得

，

另由
得
，解得
或
（舍去），

，
.

17（Ⅰ）答案一：
，从稳定性角度选甲合适．

答案二：

乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．

（Ⅱ）恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共
共
种情况．

次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率
．

18．（Ⅰ） 连结
，交
于
，连结
． ∵ 直三棱柱
，
是
中点， ∴侧面
为矩形，
为
的中位线∴
．

∵
平面
，
平面
，∴
平面
．

（Ⅱ）∵
， 由直三棱柱可知，
，
，

所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-
．

则
，
，

．

设
，

∵点
在线段
上，且
， 即
．

∴
，
．
，
，
，

平面
的法向量为
， 设平面
的法向量为
，

由
， 得
， 所以
，即
．

设二面角
的大小为
，

所以二面角
的余弦值为
．

19．（1）设
,则有
,

由
最小值为
得
,

∴椭圆
的方程为
4分

（2）把
的方程代入椭圆方程得
:]

∵直线
与椭圆
相切,∴
,化简得

同理可得:

∴
,若
,则
重合,不合题意, ∴
,即
8分

设在
轴上存在点
,点
到直线
的距离之积为1,则

,即
,

把
代入并去绝对值整理,
或者

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的
恒成立 则
,解得
;

综上所述,满足题意的定点
存在,其坐标为
或
13分

20．（Ⅰ）
的定义域为

当
时，
．
，解得
.当
时，
单调递减；当
时，
单调递增；

所以当
时，函数
取得极小值，极小值为
； ..4分

（Ⅱ）
，其定义域为
．

又
． ..6分

由
可得
，在
上
，在
上
，

所以
的递减区间为
；递增区间为
． .. 7分

（Ⅲ）若在
上存在一点
，使得
成立，

即在
上存在一点
，使得
．即
在
上的最小值小于零． 8分

①当
，即
时，由（II）可知
在
上单调递减．

故
在
上的最小值为
，由
，

可得
. 因为
．所以
；

②当
，即
时，

由（II）可知
在
上单调递减，在
上单调递增．

在
上最小值为
． 11分

因为
，所以
．

，即
不满足题意，舍去． 12分

综上所述:

． 13分

21．①

（2）矩阵
的特征多项式为


， 3分

令
，得
, 当
时，得
,当
时，得
.

②（1）圆
的方程为
，即
；

把
代入上式得

所以圆
的直角坐标方程

（2）设
直线l的普通方程为：
，

代入上述圆方程消去y得：
，解得

所以
.=

=

=
=

③解：（Ⅰ）由题意得：

所以
的解集为：

（Ⅱ）因为

所以
而
，即

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