福安一中2015届高考模拟考试卷

数学（文科）

参考公式：

柱体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

锥体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；[

球的表面积、体积公式：
，
，其中
为球的半径．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若
是虚数单位，则复数
在复平面内所对应的点位于（ ）

A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设全集
，
，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A

A．
B．
C．
D．

3．抛物线
的准线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 某校组织班班有歌声比赛，8个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是（ ）

A．
　 B．
　　 C．
　　 　D．

5．已知命题
对任意
，总有
；
是
的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）

6．已知
在直线
上，其中
，则
的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．函数
的图象大致是（ ）

8．阅读右面的程序框图，则输出的
（ ）

A．
B．
C．
D．

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
　　　B．
　　C．
　　　D．2

10．函数
＋bx的图象在点A（l，f(1））处的切线与直线3x - y＋2＝0平行，若数列｛
｝的前n项和为Sn，则S2015＝（ ）

A．1　　 　B．
　 　C．
　 D．

11．已知函数
其中
记函数
满足条件
为事件A，则事件A发生的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．若定义域为
的函数
满足：①
在
内是单调函数；② 存在
,使得
在
上的值域为
,则称函数
为“半值函数”。已知函数
是“半值函数”，则实数
的取值范围为( )

A．
B．
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题

13.已知向量a，b，满足|a|＝1，| b |＝，a＋b＝(，1)，则向量 a与b的夹角是 。

14.根据2015年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定（试行）》，AQI共分为六级：
为优，
为良，
为轻度污染，
为中度污染，
为重度污染，300以上为严重污染．2015年1月5日出版的《A市早报》报道了A市2014年9月份中30天的AQI统计数据，右图是根据统计数据绘制的频率分布直方图. 根据图中的信息可以得出A市该月环境空气质量优良的总天数为 。

15.函数
的零点个数是_____。

16.设直线
与双曲线
（
）两条渐近线分别交于点
，若点
满足
,则该双曲线的离心率是 。

三、解答题：

17.移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当

日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择

套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户

可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠

300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所

示，现将频率视为概率。

（Ⅰ）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；

（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中

选出6人，再从该6人中随机选两人，求这两人获

得相等优惠金额的概率。

18.在数列
和等比数列
中，
，
，
．

（Ⅰ）求数列
及
的通项公式；（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
。19.设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c. 已知C＝
，acosA=bcosB．

（1）求角B的大小；

（2）如图，在△ABC内取一点P，使得PB＝2．过点P分别作直线BA、BC的垂线PM、PN，垂足分别是M、N。设∠PBA＝
，求PM＋PN的最大值及此时
的取值。

20.如图所示，已知在四棱锥
中,
//
,
,
，

且

（1）求证：
平面
；

（2）试在线段
上找一点
，使

∥平面
,并说明理由；

（3）若点
是由（2）中确定的，且
，求四面体
的体积。

21.在平面直角坐标系中，椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，椭圆上的点到焦点的最远距离为
。

（1）求椭圆的方程。

（2）设
是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．

（ⅰ）当k＝1时，
，求
的值；

（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值。

22.设函数
.

（1）若
=1时，函数
取极小值，求实数
的值；

（2）若函数
在定义域上是单调函数，求实数
的取值范围；

（3）若
，证明对任意正整数
，不等式
都成立。

福安一中2015届高考模拟考试卷

数学（文科）参考答案

选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

C

D

C

D

B

A

D

C

A





二、填空题:

13．
14．12 15． 2 16．

16、【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程为
与
，分别于
，联立方程组，解得
,
,由
得，设
的中点为
，则
，
与已知直线垂直，故
，解得
，即
，
。

三、解答题：

17、解：（Ⅰ）设事件
=“某人获得优惠金额不低于300元”，则
.…4分(Ⅱ)设事件
=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”， ……………5分

由题意按分层抽样方式选出的6人中，获200元优惠的1人，获500元优惠的3人，获300元优惠的2人,分别记为
，从中选出两人的所有基本事件如下：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15个. ……9分

其中使得事件
成立的为
，
，
，
，共4个…10分

则
. ……12分

18．本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）依题意
，
，……2分

设数列
的公比为
，由
，得
，则
，………4分

故
，……5分，又由
，得
………6分

（Ⅱ）依题意
．…7分
， ①

则
②……9分

①-②得
，…………11分

即
，故
．………………12分

19、解（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，

所以有A＝B或A＋B＝． … 2分

又因为C＝，得A＋B＝，与A＋B＝矛盾，

所以A＝B，因此B＝． …4分

（2）由题设，得在Rt△PMB中，PM＝PB·sin∠PBM＝2sinα；

在Rt△PNB中，PN＝PB·sin∠PBN＝ PB·sin(
－∠PBA) ＝2sin(
－α)，α∈(0，
).

所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin(
－α)＝sinα＋cosα＝2sin(α＋
).

因为α∈(0，
)，所以α＋
∈(
，
)，从而有sin(α＋
)∈(
，1]，

即2sin(α＋
)∈(，2]．于是，当α＋
＝，即α＝
时，PM＋PN取得最大值2。

20、【解析】（1）连接
，过
作
,垂足为
，又已知在四边形
中，
,
∥
,
，四边形
是正方形． 1分

∴

．

又 ∵
，∴
．

∴
．∴ ∠
．∴
． 2分

又∵
，
，

∴
平面
． 4分

（2）当
为
中点时，
平面
． 5分

证明：取
中点为
，连接
．

则
∥
，且
∵
∥
,
，∴
∥
，
．

∴ 四边形
为平行四边形，∴
∥
．

∵

平面
,

平面
，∴
∥平面
. 8分

（3）由（1）知，
平面
，
为
中点，所以点
到平面
的距离等于
,
． 9分，在三角形
中，
所以在三角形
中，
10分，在
中
是
,
12分

21、解（1）由题设可知a＝2，
，所以c＝，故b＝1．

因此，a＝2，b＝1．椭圆C的方程为 ＋y2＝1

（2）由（1）可得，椭圆C的方程为 ＋y2＝1．设点P（m，0）（－2≤m≤2），

点A（x1，y1），点B（x2，y2）．

(ⅰ)若k＝1，则直线l的方程为y＝x－m．联立直线l与椭圆C的方程，即。

将y消去，化简得 x2－2mx＋m2－1＝0．解之得x1＋x2＝， x1· x2＝，

而y1＝x1－m，y2＝x2－m，

因此，∣AB|＝＝＝