福州第一中学2015届高三下学期考前模拟

理 科 数 学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

s=
V=
Sh

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集
，
，
，则图中阴影部分表示的集合为

A．
B．

C．
D．
（第1题图）

2.若
（
为虚数单位），则
的值为

A.
B.
C.
D.

3.设双曲线的焦点在
轴上，两条渐近线为
，则该双曲线的离心率等于

A．
B．
C．
D．

4.已知公差不为
的等差数列
满足
成等比数列，
为数列
的前
项和，

则
的值为

A．
B．
C．
D．

5.下列判断不正确的是

A．若
，则

B．命题“
”的否定是“
”

C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样

D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等

6.函数
的最小正周期是
，若其图象向右平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数
的图象

A．关于点
对称 B．关于直线
对称

C．关于点
对称 D．关于直线
对称

7．设点（
）是区域
内的任意一点，则函数
在区间
上是增函数的概率为

A．
B．
C．
D．

8.如图，在棱长均为
的四棱锥
中，点
为

的中点，则下列命题正确的是（ ）

A．
∥平面
，且直线
到平面
的距离为

B．
∥平面
，且直线
到平面
的距离为

C.
与平面
不平行，且直线
与平面
所成的角大于
第8题图

D.
与平面
不平行，且直线
与平面
所成的角小于

9．称
为两个向量
间的“距离”.若向量
满足：

①
； ②
； ③对任意的
，恒有
．

则以下结论一定成立的是

A．
B．
C．
D．

10．已知抛物线
：
，圆
：
（其中
为常数，
）.过点
的直线
交圆
于
、
两点，交抛物线
于
、
两点，且满足
的直线
有且只有三条的必要条件是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．若
．

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．

13．在
点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时

该物体位于
点，一分钟后，其位置在
点，且
，

再过两分钟后，该物体位于
点，且
，

则
的值为 ．

14．在
的二项展开式中，含
的奇次幂的项之和为
，则当
时，
等

于 ．

15．已知
为
上的任意实数，函数
，
，
．

则以下结论：

①对于任意

，总存在
，


，使得
；

②对于任意

，总存在
，


，使得
；

③对于任意的函数
，


，总存在

，使得
；

④对于任意的函数
，


，总存在

，使得
．

其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有答案序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）

甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次



甲

58

55

76

92

88



乙

65

82

87

85

95



（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；

（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为
，求随机变量
的分布列和期望
．

17．（本小题满分13分）

如图，四边形
与
均为菱形，设
与

相交于点
，若
，且
.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

（第17题图）

18．（本小题满分13分）

设
，函数
，且
．

（Ⅰ）求
的单调递减区间；

（Ⅱ）设锐角△
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、
，

且
，求
的取值范围．

19．（本小题满分13分）

已知
，
为椭圆
的左、右顶点，
为其右焦点，
是椭圆
上异

于
，
的动点，且
面积的最大值为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）直线
与椭圆在点
处的切线交于点
，当直线
绕点
转动时，试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并加以证明．

20．（本小题满分14分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求函数
的图象在点
处的切线方程；

（Ⅱ）判断函数
的零点个数，并说明理由；

（Ⅲ）已知数列
满足：
，
，且
．若不等式
在
时恒成立，求实数
的最小值.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵
的一个特征值
所对应的特征向量为
.

（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵；

（Ⅱ）求曲线
：
在矩阵
对应变换作用下得到的新的曲线方程.

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数）．在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，曲线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）将直线
的参数方程和圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
和曲线
相交于
、
两点，求
的长.

（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲

已知正数
，
，
满足
．

（Ⅰ）求
的最大值
；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

C

A

D

B

C

D

B

D



一、选择题：

二、填空题：

11.
12.
13.
14.
15. ①④

选择题10简解：依题意可设直线
：
，（1）代入
，得
，△=
，把（1）代入
得
，设
，
，
，
，

，即
，

若
，则
，
.若
，则
，即
，即
，故当
时，
有三条．从而本题应该选D.三、解答题：

16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分

（Ⅱ）随机变量
的所有可能取值为
．

，
，

，…………………10分

随机变量
的分布列是：




















．…………………………………………………13分

17.（I）证明：因为四边形
与
均为菱形，

所以
，
.

因为
，
，

所以
，
…………………………………………………2分

又
，
，
，

所以
又
，

所以
…………………………………………………………………………4分

（II）连接
、
,因为四边形
为菱形，且
，

所以
为等边三角形，

因为
为
中点.所以
，

又因为
为
中点,且
，

所以

又
，所以
………………………………………………6分

由
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系

设
，因为四边形
为菱形，
，

则
，
，
，所以

…8分

所以
设平面
的一个法向量为
，则有
,所以
，

令
，则