福安一中2015届高考模拟考试卷

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

1．设全集
，集合
，集合
，则图中阴影部分所表示的集合是（　　 ）

A.
B.

C.
D.

2．抛物线
的焦点是( )

A．（０，１）　　　B．（１，０） C．（０，２） D．（２，０）

3．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图

中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则

该器皿的表面积是

A．
B．

C．
D．

4. 已知集合
，
，若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数
的取值可以是（ ）

A．
B．
C． 1 D．

5.已知等比数列
的前
项和为
，公比为
，若
，则
等于（ ）

A．
B．3 C．
D．1

6. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出

的值依次为（ ）

A．32,63 B．64,63

C．63,32 D．63,64

7. 已知
外接圆的半径为1，圆心为
，且
，则
的值是( )

A．3 B．
C．
D．1

8. 设函数
上既是奇函数又是减函数，则
的图象是( )

9. 设F是双曲线
的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF| +|PA|的最小值为( )

A. 5 B.
C. 7 D. 9

10.若
，则函数
存在极值的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11.已知b为实数，i为虚数单位，若
为实数，则b=__________.

12.若
的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=_____.

13.将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为_____.

14.下列命题中正确命题是_____________（写出所有正确命题的序号）

①命题 “
” 的否定是 “
”；

②
，则
的最小正周期是
;

③若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；

④平面
，直线
满足：
，
，必存在与
都垂直的直线.

15．已知在平面直角坐标系中有一个点列：
.若点
到点
的变化关系为：

，

则
=______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

16．（本题满分13分）设函数
已知函数f(x)的图象的相邻对称轴的距离为
.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且f(A)＝，△ABC的面积为S＝6，a＝2，求
的值．

17．（本题满分13分）如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，
⊥底面
，
是棱
的中点，且
，
．

（1）求证：
⊥平面
；

（2）如果
是棱
上一点，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值

18.（本小题满分13分）

某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N (120，25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105），……第六组[135，145]，得到

如右图所示的频率分布直方图.

(I)试估计该校数学的平均成绩；

(Ⅱ)这50名学生中成绩在125分（含125分）

以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前

13名的人数记为X，求X的分布列和期望。

附：若
，则

19.(本小题满分13分)

已知
为平面内的两个定点，动点
满足
,记点
的轨迹为曲线
．

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）设点
为坐标原点，点
，
，
是曲线
上的不同三点，且
．试探究：直线
与
的斜率之积是否为定值？证明你的结论；

20.（本题满分14分）

函数
,
,其中a为常数,且函数
和
的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若存在x使不等式
成立，求实数m的取值范围；

(Ⅲ)对于函数
和
公共定义域中的任意实数
，我们把
的值称为两函数在
处的偏差.求证:函数
和
在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

21．（本题满分14分）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请任选2题做答．如果多做，则按所做的前两题计分．

(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

(Ⅰ)对矩阵
,求其逆矩阵
;

(Ⅱ) 利用矩阵知识解二元一次方程组
．

(2)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系xoy中，圆C1的参数方程为
为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为
＝4sin
.

（I）写出圆C1的普通方程及圆C2的直角坐标方程；

（II)圆C1与圆C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

已知
且
，若
恒成立，

(Ⅰ)求
的最小值；

（Ⅱ）若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围.

福安一中2015届高考模拟考试卷

数学（理科） 参考答案 2015.5.22

1-10 BADCB DDCDA

11.-2 12.6 13,20 14.③④ 15.

16． 解：（1）

，

（2）由（1）知

17． 解析：（1）连结
．

因为在
中，

，
，

所以
，所以
．

因为
∥
，所以
．

又因为
底面
， 所以
．

因为
，

所以
⊥平面
．--------------------------- 4分

（2）如图以
为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系.

则
，
，
，
，
．

因为
是棱
的中点，所以
.

所以
，
．

设
为平面
的法向量，

所以
， 即
，

令
，则
，

所以平面
的法向量
．--------------------------------- 8分

因为
是在棱
上一点，所以设
，
．

设直线
与平面
所成角为
，

因为平面
的法向量
，

所以

.

解得
，即
，
，所以
.---------------------------- 12分

18.解：（1）由频率分布直方图可知
的频率为

所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为

（2）由于
根据正态分布：

故

所以前13名的成绩全部在130分以上

根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有
人，而在
的学生有

所以X的取值为0,1,2,3

19. 解法一：（Ⅰ）由条件可知， 点
到两定点
的距离之和为定值
，

所以点
的轨迹是以
为焦点的椭圆．………………………2分

又
，
，所以
，

故所求方程为
．…………………………………………4分

（Ⅱ）设
，
，
．

由
，得
，
．…………5分

设直线
的方程为

，

代入
并整理得，
，

依题意，
，则
，
，

从而可得点
的坐标为
，
．

因为
，所以直线
与
的斜率之积为定值．……………8分

解法二： （Ⅱ）设
，
，
．

由
得：
，
……………5分

（ⅰ）因为点
，
在椭圆上，

所以有：
，
，

两式相减，得
，

从而有
．

又
，
，

所以
，即直线
与
的斜率之积为定值．………………8分

20.解：（Ⅰ）
，
，
的图像与坐标轴的交点为
，
的图像与坐标轴的交点为
，由题意得
，即

又∵
，∴
。

（Ⅱ）由
得
，故
在
有解，

令
，则
。当
时，
；

当
时，∵
，∵
，

∴
，∴

故

即
在区间
上单调递减，故
，∴

即实数m的取值范围为
。

（Ⅲ）解法一：

∵函数
和
的偏差为：
，

∴
，设
为
的解，则当
，
；

当
，
，∴
在
单调递减，在
单调递增

∴

∵
，
，∴

故

即函数
和
在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

解法二：

由于函数
和
的偏差：
，

令
，
；令
，

∵
，
，∴
在
单调递增，
在
单调递减，在
单调递增

∴
，
，∴

即函数
和
在其其公共定义域内的所有偏差都大于2。

21．1.解：(1)
………3分

(2)方程组可写为