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2015年普通高等学校招生考试全国统一考试（四川卷）

数 学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合
，集合
，则
（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

2、设
是虚数单位，则复数
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3、执行如图所示的程序框图，输出
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4、下列函数中，最小正周期为
且图象关于原点对称的函数是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

5、过双曲线
的右焦点且与
轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于
，
两点，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

6、用数字
，
，
，
，
，
组成没有重复数字的五位数，其中比
大的偶数共有（ ）

（A）
个 （B）
个 （C）
个 （D）
个

7、设四边形
为平行四边形，
，
。若点
，
满足
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8、设
，
都是不等于
的正数，则“
”是“
”的（ ）

（A）充要条件 （B）充分不必要条件

（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

9、如果函数
（
，
）在区间
上单调递减，那么
的最大值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10、设直线
与抛物线
相交于
，
两点，与圆
（
）相切于点
，且
为线段
的中点。若这样的直线
恰有
条，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、在
的展开式中，含
的项的系数是____________（用数字填写答案）。

12、
的值是____________。

13、某食品的保鲜时间
（单位：小时）与储藏温度
（单位：
）满足函数关系
（
为自然对数的底数，
，
为常数）。若该食品在

的保鲜时间是
小时，在

的保鲜时间是
小时，则该食品在

的保鲜时间是____________小时。

14、如图，四边形
和
均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点
在线段
上，
，
分别为
，
的中点。设异面直线
与
所成的角为
，则
的最大值为____________。

15、已知函数
，
（其中
）。对于不相等的实数
，
，设
，
。现有如下命题：

①对于任意不相等的实数
，
，都有
；

②对于任意的
及任意不相等的实数
，
，都有
；

③对于任意的
，存在不相等的实数
，
，使得
；

④对于任意的
，存在不相等的实数
，
，使得
。

其中的真命题有____________（写出所有真命题的序号）。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分12分)

设数列
（
）的前
项和
满足
，且
，
，
成等差数列。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的前
项和为
，求使得
成立的
的最小值。

17、(本小题满分12分)

某市
，
两所中学的学生组队参加辩论赛，
中学推荐了
名男生、
名女生，
中学推荐了
名男生、
名女生，两校所推荐的学生一起参加集训。由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取
人、女生中随机抽取
人组成代表队。

（Ⅰ）求
中学至少有
名学生入选代表队的概率；

（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的
名队员中随机抽取
人参赛。设
表示参赛的男生人数，求
的分布列和数学期望。

18、(本小题满分12分)

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。在正方体中，设
的中点为
，
的中点为
。

（Ⅰ）请将字母
，
，
标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

（Ⅱ）证明：直线
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值。

19、(本小题满分12分)

如图，
，
，
，
为平面四边形
的四个内角。

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，
，
，
，
，

求
的值。

20、(本小题满分13分)

如图，椭圆
：
（
）的离心率是
，过点
的动直线
与椭圆相交于
，
两点。当直线
平行于
轴时，直线
被椭圆
截得的线段长为
。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系
中，是否存在与点
不同的定点
，使得
恒成立？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由。

21、(本小题满分14分)

已知函数
，其中
。

（Ⅰ）设
是
的导函数，讨论
的单调性；

（Ⅱ）证明：存在
，使得
在区间
内恒成立，且
在区间
内有唯一解。

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