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2015年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n
N},B={6,8,12,14},则集合A
B中元素的个数为

（A）5 （B）4 （C）3 （D）2

（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量
=（-4，-3），则向量
=

（A）（-7，-4） （B）（7,4） （C）（-1,4） （D）（1，4）

（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=

（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i

（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为
，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=

（A）3 （B）6 （C）9 （D）12

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

（7）已知
是公差为1的等差数列，
则
=4
，
=

（A）
（B）
（C）10 （D）12

（8）函数f(x)=
的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为

（A）（k
-
, k
-
）,k

（A）（2k
-
, 2k
-
）,k

（A）（k
-
, k
-
）,k

（A）（2k
-
, 2k
-
）,k

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

（10）已知函数
，且f（a）=-3，则f（6-a）=

（A）-
（B）-
（C）-
（D）-

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=

（A）1

(B) 2

(C) 4

(D) 8

（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，

则a=

（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4

2015年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~ 第24题为选考题，考生根据要求做答。

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）在数列{an}中， a1=2,an+1=2an, Sn为{an}的前n项和。若-Sn=126，则n=.

（14）已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7），则a= .

（15）x,y满足约束条件
，则z=3x+y的最大值为.

（16）已知F是双曲线C：x2-
=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6
）.当△APF周长最小是，该三角形的面积为

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）（本小题满分12分）

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC

（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=
，求△ABC的面积

（18）（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥—ACD的体积为
，求该三棱锥的侧面积

（19）（本小题满分12分）

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费
和年销售量
（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。






（x1-
）2


（w1-
）2


（x1-
）(y-
)


（w1-
）(y-
)



46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8



表中w1 =
1, ，
=

1

根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线v=
u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

（20）（本小题满分12分）

已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.

求K的取值范围；

若
·
=12，其中0为坐标原点，求︱MN︱.

（21）.（本小题满分12分）

设函数
。

（Ⅰ）讨论
的导函数
零点的个数；

（Ⅱ）证明：当
时，
。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙
的直径，AC是⊙
的切线，BC交⊙
于点E。

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙
的切线；

（Ⅱ）若CA=
CE，求∠ACB的大小。

（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
:x=
,圆
：
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求
，C2的极坐标方程。

（2）若直线C3的极坐标为
=
（ρ
R）,设C2与C3的交点为M，N,求△C2MN的面积

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x+1|-2|x-a|，则a>0.

当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；

若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

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