哈尔滨三中2015年第四次模拟考试

数学试卷（理工类）

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1. 已知复数
，则集合
中元素的个数是

　　A．4　　　　　 B．3　　　　　 C．2　　　　　　D．无数

2. 函数
的图像关于直线
对称，且在

单调递减，
，则
的解集为

A．
B．

C．
D．

3．执行如图程序框图其输出结果是

　 A．

B．
　　　　　

C．
　　　　　　

D．

4. 已知平面
，则“
”是“
”成立的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是
，该几何体的体积为

A．
　

B．

C．

D．

6. 直线
被圆
所截得弦的长度为
，则实数
的值是

A．
B．
C．
D．

7．
是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒

南岗

校区



群力校区



2

0.04

1 2 3 6



 9 3

0.05

9



6 2 1

0.06

2 9



3 3 1

0.07

9



6 4

0.08

7



7

0.09

2 4 6



物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的
监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是

A．南岗校区

B．群力校区

C．南岗、群力两个校区相等

D．无法确定

8. 三棱锥
中，
为等边三角形，
，
，三棱锥
的外接球的表面积为

A.
B.
C.
D.

9．用数学归纳法证明不等式“
”时，由

不等式成立，推证
时，左边应增加的项数是

A.
B.
C.
D.

10．双曲线
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
，双曲线
与抛物线

的准线交于
，
两点，
，则双曲线
的实轴长为

A.
B．
C．
D．

11. 定义在R上的奇函数
，当
时，
，则关于
的函数
的所有零点之和为

A．
B．
C．
D．

12．已知数列
满足
，且
，则

的整数部分是

A．0 B．1 C．2 D．3

哈尔滨三中2015年第四次模拟考试

数学试卷（理工类）

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13. 在等比数列
中，
，
，则
．

14. 现要将四名大学生分配到两所学校实习，则不同分配方法有 种．

15．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点

，且法向量为
的直线（点法式）方程为
，化简得
．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点

，且法向量为
的平面（点法式）方程为 ．

16. 向量
，
，
，函数
的最大值为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）

已知函数

．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及在区间
上的最大值和最小值；

（Ⅱ）将函数
图像向左平移
个单位，再向上平移
个单位，得到函数

图像，求
的对称轴方程和对称中心坐标．

18.（本小题满分12分）

某企业有
位员工.拟在新年联欢会中，增加一个摸球兑奖的环节，规定：每位员工从一个装有
个标有面值的球的袋中一次性随机摸出
个球，球上所标的面值之和为该员工所获的中奖额.企业预算抽奖总额为
元，共提出两种方案.

方案一：袋中所装的
个球中有两个球所标的面值为
元，另外两个标的面值为
元；

方案二：袋中所装的
个球中有两个球所标的面值为
元，另外两个标的面值为
元．

（Ⅰ）求两种方案中，某员工获奖金额的分布列；

（Ⅱ）在两种方案中，请帮助该企业选择一个适合的方案，并说明理由.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，面
为矩形，
，
，
为
的中点，
与
交于点
，
面
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值．

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
:
的焦点分别为
、
，点
在椭圆
上，满足
，
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知点
，试探究是否存在直线
与椭圆
交于
、
两点，且使得
？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若
，且
存在单调递减区间，求
的取值范围；

（Ⅱ）设函数
的图象
与函数
的图象
交于点
、
，过线段
的

中点
作
轴的垂线分别交
、
于点
、
，是否存在点
，使
在点

处的切线与
在点
处的切线平行？如果存在，求出点
的横坐标，如果不

存在，说明理由.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,
是圆
的直径，
是半径
的中点，
是
延长线上一点，且
，直线
与圆
相交于点
、
（不与
、
重合），
与

圆
相切于点
，连结
，
，
．

（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）若
，求
．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知点
，
，点
在曲线
：
上.

（Ⅰ）求点
的轨迹方程和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）求
的最小值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知正实数
，
满足：
.

（Ⅰ）求
的最小值
；

（Ⅱ）设函数
，对于（Ⅰ）中求得的
，是否存在实数
，使得
成立，若存在，求出
的取值范围，若不存在，说明理由．

哈尔滨三中2015年第四次模拟考试

数学试卷（理工类）答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

B

A

A

C

A

C

C

D

D

C



二、填空题：

13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17.
，
，

的最大值为
--------------6分

（2）
,

对称轴为直线
,
对称中心为
，
--------12分

18. (1) 设方案一某员工获奖金额为
，则
的可能取值为

,

则
的分布列为

20

60

100













--------------------4分

设方案二某员工获奖金额为
，则
的可能取值为

,

则
的分布列为

40

60

80













--------------------8分

(2)
,

若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配更集中，方案二的方差比方案一的方差小，所以应该选择方案二 ----------------------12分

若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配差距大一些，方案一的方差比方案二的方差大，所以应该选择方案一 ----------------------12分

19．（1）由
与
相似，知
，又
平面
，

，

平面
，

；---------------6分

（2）以
为坐标原点
、
、
所在直线分别为