2015年辽师大附中高三年级模拟考试（精品卷）

理科数学试卷

命题人：高三理科备课组

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知
是虚数单位，复数
，则
（ ）

A. 2 B.
C.
D.1

2.集合
，
，若“
”是“
”的充分条件，则b的取值范围是 ( )

A．-2≤b<2 B．-2

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）

A.
B．
C．
D．

4.若程序框图如图示，则该程序运行后输出
的值是 （ ）

A
B．
C．
D．

5.已知变量
满足：
，则
的最大值为 （ ）

A.
B.
C. 2 D.4

6.定义一种新运算：
，已知函数
，若函数

恰有两个零点，则
的取值范围为 （ ）

A.
B.
C.
D.

7.某厂生产的零件外径
，今从该厂上、下午生产的零件中各取一件，测得外径分别为10.5cm,9.3cm,则可认为 （ ）

A．上午生产情况正常，下午生产情况异常

B．上午生产情况异常，下午生产情况正常

C．上、下午生产情况均正常

D．上、下午生产情况均不正常

8.
中，角
所对的边长分别为
，
，

且
，则
= （ ）

A .
B.
C.
D.

9.已知平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值 ( )

A. B.  C. D.

10.已知抛物线
：
的焦点为
，准线为
，
是
上一点，
是直线
与
的一个交点，若
，则
= （ ）

A .
B.
C.
D.

11.若
是
的重心，
，
，
分别是角
的对边，若

，则角
（ ）

A .
B.
C.
D.

12.已知函数
的导函数为
，满足
，且

则函数
的最大值为 （ ）

A .
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.若
，则二项式
的展开式中的常数项为 ．

14.过点
作圆
的两条切线，设切点分别为
，则线段
的长度为 ．

15.在2015年高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食．每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的食物搭配方案种数为______

16.△ABC中，已知：AB=2，BC=1，
，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形（如图1）。设∠FEC=α，问当sinα=＿＿＿＿时，△DEF的边长最短.

图1

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本题满分12分)已知数列
的前
项和为
，
，

，
．

（Ⅰ) 求证：数列
是等比数列；

（Ⅱ) 设数列
的前
项和为
，
，点
在直线
上，若不等式
对于
恒成立，求实数
的最大值．

18. (本题满分12分)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，
，
，
．

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．

19. (本题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设
表示所抽取的3名同学中得分在
的学生个数，求
的分布列及其数学期望．

20.(本题满分12分)已知抛物线
上一点
到其焦点
的距离为4；椭圆
的离心率
，且过抛物线的焦点
.

（I）求抛物线
和椭圆
的标准方程；

（II）过点
的直线
交抛物线
于
、
两不同点，交
轴于点
，已知
，求证：
为定值.

（III）直线
交椭圆
于
，
两不同点，
，
在
轴的射影分别为
，
，
，若点S满足：
，证明：点S在椭圆
上.

21.(本题满分12分)设函数
，其中
，曲线
过点
，且在点
处的切线方程为
.

1）求
的值；

2）证明：当
时，
；

3）若当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲.

如图，圆周角
的平分线与圆交于点
，过点
的切线与弦
的延长线交于点
,
交
于点
.

（1）求证：
;

（2）若
四点共圆，且弧
与弧
相等，

求

23.(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以原点为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为

（1）求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（2）设点
，曲线
与曲线
交于
,求
的值.

24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）若
的解集为
，求实数
的值；

（2）当
且
时，解关于
的不等式

精品卷 答案

一选择题: 1.C 2.D 3.B 4 .A 5. D 6.B 7.A 8. A 9.B 10. B 11.D 12. C

二填空题:13. 24 14. 4 15. 132 16.

三解答题:

17.解析：（Ⅰ)由
，

得
，

两式相减得
， 所以
（
)，

因为
，所以
，
，

所以
是以
为首项，公比为
的等比数列

（Ⅱ)由（Ⅰ)得
，因为点
在直线
上，所以
，

故
是以
为首项，
为公差的等差数列，

则
，所以
，

当
时，
，

因为
满足该式，所以

所以不等式
，

即为
，

令
，则
，

两式相减得

， 所以

由
恒成立，即
恒成立，

又
，

故当
时，
单调递减；当
时，
；

当
时，
单调递增；当
时，
；

则
的最小值为
，所以实数
的最大值是

18. 解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD． ∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

证法二：AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．

∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．

∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．

（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为
；

Q（0，0，0），
，
，
．

设M（x，y，z），则
，
，

∵
，∴
，∴

在平面MBQ中，
，
，

∴平面MBQ法向量为
∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，

∴
，∴t=3．

19.（Ⅰ）由题意可知，样本容量
，
，

． 3分

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100)有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在
的学生个数
的可能取值为
，则

，
，
．

所以，
的分布列为

1

2

3













所以，
． 12分

20.解析：（Ⅰ）抛物线
上一点
到其焦点
的距离为
；

抛物线的准线为

抛物线上点
到其焦点
的距离
等于到准线的距离

所以
,所以
抛物线
的方程为

椭圆
的离心率
,且过抛物线的焦点

所以