2015年辽师大附中高三年级模拟考试（精品卷）

数学文科试卷

命题人：高三数学文科备课组

一．选择题（每题5分，共60分）

1.设集合
，则
的值为（ ）

A．e B．1 C．
D．0

2.若复数Z满足（1+i）Z=i，则Z的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．下列结论正确的是（ ）

A．若向量
，则存在唯一实数

B．已知向量
为非零向量，则“
的夹角为钝角”的充要条件是“
”

C．“若
”的否命题为“若
”

D．若命题

4．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图

像经过点，则ω的最小值是(　　)

A. B．1 C. D．2

5．已知向量
，则实数k的值为（ ）

A．
B．0 C．3 D．

6.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （ ）

A.9 B.16

C.25 D.36

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

8.已知不等式组
，表示的平面区域为D，点
.若点M是D上的动点，则
的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

9．在△ABC中，cos2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为(　　)

A． 直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

10.已知数列{an}的通项公式an＝log2(n∈N*)，设{an}的前n项和为Sn，则使Sn＜－5成立的自然数n(　　)

A．有最大值63 B．有最小值63 C．有最大值31 D．有最小值31

11.已知F2，F1是双曲线
的上，下两个焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）

A． 2 B．
C． 3 D．

12．已知
的定义域为
，
的导函数，且满足
，则不等式
的解集是 （ ）

A．
B．
C．（1，2） D．

二．填空题（每题5分，共20分）

13一元二次不等式
的解集为
，则
的最小值为__________

14. 已知三棱柱
的6个顶点都在球
的球面上，若
，则球
的半径为 __________.

15．设Sn是数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称数列{an}为“和等比数列”．若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{bn}__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．

16数
（
），定义函数
，给出下列命题：①
；②函数
是偶函数；③当
时，若
，则有
成立；④当
时，函数
有
个零点．其中正确命题的个数为 .

三．解答题

17.(本题12分) 设
为数列{
}的前项和，已知
，2
，
N

（Ⅰ）求
，
，并求数列｛
｝的通项公式；

(Ⅱ) 求数列｛
｝的前
项和。

18．(本题满分12分)

“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金。在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示。

（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）

0.10

0.05

0.010

0.005





2.706

3.841

6.635

7.879



（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，

求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率。

（参考公式：
其中
）

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
，
平面
,
平面
，
，
，
.

（Ⅰ）求棱锥
的体积；

（Ⅱ）求证：平面

平面
；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
,使
平面
？若存在, 求出
的值；若不存在，说明理由.

20. (本题12分) 设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx,y+1)，向量b=(x,y-1)，

a⊥b，动点M（x,y）的轨迹为E.

（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状;

（Ⅱ）已知
，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求该圆的方程。

21 (本题12分). 已知函数
．

(I)当
时，求函数
的单调区间和极值；；

(Ⅱ) 若
恒成立，求实数
的值。

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22. (本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲.

如图，圆周角
的平分线与圆交于点
，过点
的切线与弦
的延长线交于点
,
交
于点
.

（1）求证：
;

（2）若
四点共圆，且弧
与弧
相等，

求

23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以原点为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为

（1）求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（2）设点
，曲线
与曲线
交于
,求
的值.

24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）若
的解集为
，求实数
的值；

（2）当
且
时，解关于
的不等式

数学（文）精品卷答案

选择题

1----5 DCCDC 6----10 BBCA B 11---12 AD

二．填空题

13
14
15. 是 16 3

三．解答题

17. [解析]　 【解析】（Ⅰ）令
，得
，因为
，所以
，

令
，得
，解得
。当
时，由

，两式相减，整理得
，于是数列
是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
。

(Ⅱ)由(I )知
，记其前
项和为
，于是

①

②

-②得

从而

18.

（1）

年龄/正误

正确

错误

合计



20~30

10

30

40



30~40

10

70

80



合计

20

100

120





有
的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。------------- 6分

（2）（2）设事件A为3名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间，由已知得20~30岁之间的人数为2人，30~40岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，事件A的结果有16种，
------------- 12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：在
中，
.

因为
平面
，

所以棱锥
的体积为
.

………………4分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，
平面
，

所以
.

又因为
，
,

所以
平面
.

又因为
平面
，

所以平面

平面
. …………………6分

（Ⅲ）结论：在线段
上存在一点
,且
，使
平面
.

解：设
为线段
上一点, 且
，

过点
作
交
于
，则
.

因为
平面
,
平面
，

所以
.

又因为

所以
，
,

所以四边形
是平行四边形，

则
.

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………12分

20.解：（Ⅰ）因为a⊥b,

所以a·b＝0，即（mx,y+1）·（x,y-1）=0,

故mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1.

当m=0时，该方程表示两条直线;

当m＝1时，该方程表示圆;

当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆;

当m＜0时，该方程表示双曲线.-----------------------------4’

（Ⅱ）当
时，轨迹E的方程为
设圆的方程为x2+y2=r2（0＜r＜1），当

切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，

A（x1,y1）,B(x2,y2),

所以

即t2=r2(1+k2). ①

因为 OA⊥OB，

所以 x1x2+y1y1=0,

即 x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,

整理得 （1+k2）x1x2+kt(x1+x2)+t2=0. ②

由方程组

消去y得

（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0. ③

由韦达定理

代入②式并整理得

(1+k2)

即5t2=4+4k2.

结合①式有 5r2=4,r=

当切线斜率不存在时，x2+y2=
也满足题意，

故所求圆的方程为 x2+y2=
.-----------------------------------------------12’

21.⑴解:注意到函数
的定义域为
,
,

当
时,
,-------------------2分

若
,则
;若
,则
.

所以
是
上的减函数,是
上的增函数, 故
,

故函数
的减区间为
,增区间为
,极小值为
,无极大值.---5分

⑵解:由⑴知