陕西实验中学2015届高三下学期考前模拟

数 学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只

有一项符合题目要求的.

1．复数
等于( )

A．
B．
C．
D．

2．若集合
，
，则
等于( )

A.
B.
C.
D.

3. 阅读右面的程序框图，若输出的
，则输入的
的值可能为 ( )

A．
　 B．
C．
　 D．

4. 给出两个命题:命题
不等式
成立是不等式
成立

的必要不充分条件；命题
：函数
是奇函数.

则下列命题是真命题的是( )

A.
B.
C.
D.

5. 已知抛物线
的焦点为
，
为抛物线上一点，过
作
轴的垂线，

垂足为
，若
则
的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

6．等比数列
中
，公比
，记
（即
表示数列
的前n项之积），则
中值最大的是（ ）

A．
B．
C．
D．
:]

7．在同一个坐标系中画出函数
，
的部分图象，其中
且
，则下

列所给图象中可能正确的是 ( )

A B C D

8．已知a＞0，x，y满足约束条件
，且
的最小值为1，则a＝( )

A．1 B．2 C．
D．

9. 已知
外接圆的半径为
，圆心为
，且
，则

的值是 ( )

A．
B．
C．
D．

10. 已知
，则函数
在点
处的切线
与坐标轴围成的三角

形面积为 ( )

A．
B．
C． 1 D． 2

11. 已知
的最大值为
，若存在实数
,使得

对任意实数
总有
成立，则
的最小值为 ( )

A．
B．
C．
D．

12．对于函数
，若存在区间
，使得
，则称函数
为“可等域函数”，区间
为函数
的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 ( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二.填空题:本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中的横线上.

13．已知实数
满足
则
的最大值

为 ．

14. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为
的

四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．

15．对大于
的自然数
的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：

仿此，若
的“分裂”数中有一个是
， 则
的值为 ________ .

16. 巳知函数
分别是二次函数
和三次函数
的导函数，

它们在同一坐标系内的图象如右图所示.

①若
，则
.

②设函数
，则
的大小关系为 ．(用“
” 连接）

三.解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

年“五一”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽

车中按进服务区的先后每间隔
辆就抽取一辆的抽样方法抽

取
名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速

（km/t）分成六段：

后得到如图的频率分布直方图．

（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.

（Ⅱ）若从车速在
的车辆中任抽取2辆，求车速在

的车辆恰有一辆的概率.

18.（本小题满分12分）

已知长方体
，点
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，试问在线段
上是否存在点
,

使得

，若存在求出
，若不存在，说明理由.

19. （本小题满分12分）

已知数列
满足

其中

（Ⅰ）当
时，求
关于
的表达式，并求
的取值范围；

（Ⅱ）设集合


若

求证：

20. （本小题满分12分）

已知椭圆C的方程为
，如图所示， 在平面直角

坐标系
中，
的三个顶点的坐标分别为

（Ⅰ）当椭圆C与直线
相切时，求
的值；

（Ⅱ）若椭圆C与
三边无公共点，求
的取值范围；

（Ⅲ）若椭圆C与
三边相交于不同的两点M,N，求
的面积
的最大值．

21.（本小题满分12分）

如图，摩天轮的半径
为
，它的最低点
距地面的高度忽略不计．地面上有一长

度为
的景观带
，它与摩天轮在同一竖直平面内，且
．点
从最低

点
处按逆时针方向转动到最高点
处，记

（Ⅰ）当
时，求点
距地面的高度
；

（Ⅱ）设
写出用
表示
的函数

关系式，并求
的最大值．

 数 学（文科）

1~12 ABCC ABDD DABB 13.
14．
15．
16. ①1； ②

17.解：（Ⅰ）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于

设图中虚线所对应的车速为
，则中位数的估计值为：

，解得

即中位数的估计值为

（Ⅱ）从图中可知，车速在
的车辆数为：
（辆），

车速在
的车辆数为：
（辆）

设车速在
的车辆设为
，车速在
的车辆设为
，则所有基本

事件有：

共15种

其中车速在
的车辆恰有一辆的事件有：

共8种

所以，车速在
的车辆恰有一辆的概率为
.

18. 解：（Ⅰ）证明：连结
交
于点
，所以
为
的中点，连结

在
中，
为
的中点

面
且
面


面

（Ⅱ）若在线段
上存在点
得

，连结
交
于点

面
且
面

又
且
面

面

面

在
和
中有：
[:.]

同理：

即在线段
上存在点
有

19. 解：（Ⅰ）当
时，

，
，
．

因为
，
，或
，所以

．

（Ⅱ）由题意
，
，
．

令
，得
．因为
，
，

所以令
，则
．

20. 解：（Ⅰ）直线
的方程：

联立
消去
得

由
得
又

（Ⅱ）由图可知当椭圆C在直线
的左下方或
在椭圆内时，两者便无公共点

①当椭圆C在直线
的左下方时

解得

②当且当点
在椭圆内时，
在椭圆内

又

综上所述，当
或
时，椭圆与
无公共点

（3）由（2）可知当
时，椭圆
与
相交于不同的两个点

又因为当
时，椭圆
方程为
，此时椭圆恰好过点
[:.]

①当
时，
在线段
上，此时

当且仅当
分别与
重合时等号成立

②当
时，点
分别在线段
上易得
，

令
则

综上可得
面积
的最大值为1

21. 解：（Ⅰ）由题意，得PQ＝50－50cos? ．

从而，当? ＝ 时，PQ＝50－50cos＝75．即点P距地面的高度为75m．

（Ⅱ）由题意，得AQ＝50sin? ，从而MQ＝60－50sin? ，NQ＝300－50sin? ．

又PQ＝50－50cos? ，

所以tan?NPQ＝＝ ，tan?MPQ＝＝ ．

从而y=tan?MPN＝tan(?NPQ－?MPQ)＝

＝＝ ．

令g(? )＝ ，? ∈(0，π)，则g?(?)＝

由g?(?)＝0，得si