2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标2卷）

文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

1．已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．若为
实数，且
，则

A．
B．
C．
D．

3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是

A．逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关

4．已知
，
，则

A．
B．
C．
D．

5．设
是等差数列
的前
项和，若
，则

A．
B．
C．
D．

6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

7．已知三点
,则
外接圆的圆心到原点的距离为

8．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的
分别为14,18,则输出的
为（ ）

9．已知等比数列
满足
，
，则

10．已知
是球
的球面上两点，
,
为该球面上的动点。若三棱锥
体积的最大值为36，则球
的表面积为

A、
B、
C、
D、

11．如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记，将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为

A． B． C． D．

12．设函数
，则使得
成立的
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知函数
的图像过点（-1,4）,则a= ．

14.若x,y满足约束条件
,则z=2x+y的最大值为 ．

15.已知双曲线过点
,且渐近线方程为
,则该双曲线的标准方程为 ．

16.已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切,则a= ．

三、解答题

17（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分
PAC,BD=2DC.

（I）求
；

（II）若
,求
.

18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A

,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.

（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）

（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

19. （本小题满分12分）如图,长方体
中AB=16,BC=10,
,点E,F分别在
上,
过点E,F的平面
与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；

（II）求平面
把该长方体分成的两部分体积的比值.

20. （本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
,点
在C上.

（I）求C的方程；

（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

21. （本小题满分12分）已知
.

（I）讨论
的单调性；

（II）当
有最大值,且最大值为
时,求a的取值范围.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.

（I）证明
；

（II）若AG等于圆O半径,且
,求四边形EDCF的面积.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中,曲线
（t为参数,且
）,其中
,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线

（I）求
与
交点的直角坐标；

（II）若
与
相交于点A,
与
相交于点B,求
最大值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲

设
均为正数,且
.证明：

（I）若
,则
；

（II）
是
的充要条件.

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