双鸭山市第一中学2015届高三第四次模拟考试（理科数学）

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，
. 则
= （ ）

A．(-3，-2] B．[-2，-1) C．[-1，2) D．[2，3)

2．设
是虚数单位，复数
为纯虚数，则实数
为 （ ）

A. 2 B.
2 C.
D.

3．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．已知
,则
（ ）

A．-3 B.
C．3 D.

5．如右图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有（ ）

A．11种 B． 12种

C．20种 D． 21种

在等差数列
中，
，
则
的前5项和
= （ ）

A.7 B.15 C.20 D.25

7．已知O是坐标原点，点A（-1,1）, 若点M（x,y）为平面区域
上的一个动点，则
·
的取值范围是 （ ）

[0，1] B． [0，2] C．[－1，0] 　　D．[－1，2]

8．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为（ ）

A．2 B．1 C．
D．

9．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），

（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）

变量U与V相对应的一组数据为（10，5），

（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），

表示变量Y与X之间的线性相关系数，

表示变量V与U之间的线性相关系数，则（ ）

A．
B．

C．
D．
[:]

10．在
中,角A、B、C的对边分别是
.

若
,则角A等于

A．
B．
C．
D．

11. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，

则该几何体的表面积为（单位：m2）

A.
B.

C.
D.

12．已知双曲线
的右焦点为
，设
，
为双曲线上关于原点对称的两点，
的中点为
，
的中点为
，若原点
在以线段
为直径的圆上，直线
的斜率为
，则双曲线的离心率为

A. 4 B. 2 C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量
=（
，1），
=（0，-1），
=（k，
）.若
与
共线，则k=______________.

14．设集合P＝{x|
}，则集合P的非空子集个数是 　　

15．已知
为数列
的前
项和，且满足
，
，则
。

16.已知函数

恒成立，则K的取值范围

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17. （12分）已知函数

（I）求函数
的单调递增区间和对称中心。

（II）在
中，角
的对边分别为
，若
求
的最小值.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为
的菱形，

且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2 ，M，N分

别为PB，PD的中点．

(1)证明：MN∥平面ABCD；

(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．

（本小题满分12分）

双市一中从参加2015年新生体验营知识竞赛的同学中，选取40名同学，将他们的成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题。（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数
(
为实常数) .

(1)当
时,求函数
在
上的最大值及相应的
值;

(2)当
时,讨论方程
根的个数.

(3)若
,且对任意的
,都有
,求实数a的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．

如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，

AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

（1）证明：∠D＝∠E;

（2）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，

且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴。已知曲线C1的极坐标方程为
，曲线C2的极坐标方程为
，射线
与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D.

（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（2）求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.

24.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知函数
．

(I)若不等式
的解集为
，求实数a的值；

(II)在(I)的条件下，若存在实数
使
成立，求实数
的取值范围．

双鸭山市一中2015届高三第四次模拟考试（理科数学答案）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

A

D

D

D

B

C

B

C

B

A





二、填空题：

13. k=1; 14. 7 ; 15.2×31007﹣2 ; 16.

17. 【答案解析】(I) 单增区间为

对称中心
，
(II)

(I)

.

单增区间为

对称中心
，
........................(6分)

(II)由题意
,化简得

,
, ∴
, ∴

在
中,根据余弦定理,得
.

由
,知
,即
.

∴当
时,
取最小值
. ..........................(12分）

18．【解析】(1)如图，连接BD.∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在△PBD中，MN∥BD.

又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.

(2)如图建系：A(0,0,0)，P(0,0,2 )，M，N(，0，)，C(，3,0)．

设Q(x，y，z)，则C＝(x－，y－3，z)，

C＝(－，－3，2 )．

∵C＝λC＝(－λ，－3λ，2 λ)，

∴Q(－λ，3－3λ，2 λ)．

由A⊥C?A·C＝0，得λ＝.即：Q.

对于平面AMN：设其法向量为n＝(a，b，c)．

∵A＝，A＝(，0，)．

则??

∴n＝.

同理对于平面QMN，得其法向量为v＝.

记所求二面角A－MN－Q的平面角大小为θ，则cosθ＝＝.

∴所求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为.

解：（Ⅰ）设分数在
内的频率为
，根据频率分布直方图，

则有
，

可得
，所以频率分布直方图如图所示．

（Ⅱ）平均分：

（Ⅲ）学生成绩在
的有
人，在
的有
人，

并且
的可能取值是0，1，2。

，
；
。

所以
的分布列为

0

1

2















所以
。

20. 解　(1)由题意，知抛物线的焦点为F(，0)，所以c＝＝.因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，所以b＝×＝1.可求得a＝2，故椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为

y＝k(x－1)．

由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝.

则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，

所以·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2

＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝m2－＋＋k2(－＋1)

＝＝:.]

＝(4m2－8m＋1)＋. 要使它为定值，令2m－＝0，即m＝，此时·＝.

当直线l的斜率不存在时，不妨取P(1，)，Q(1，－)，

由E(，0)，可得＝(，－)，＝(，)，所以·＝－＝.

综上，存在点E(，0)，使·为定值.

21. 解:(1)
,当
时,
.当
时,
,又
,故
,当
时,取等号

(2)易知
,故
,方程
根的个数等价于
时,

方程
根的个数. 设
=
,

当
时,
,函数
递减,当
时,
,函数
递增.又
,
,作出
与直线
的图像,由图像知:

当
时,即
时,方程
有2个相异的根;

当
或
时,方程
有1个根;:]

当
时,方程
有0个根;

(3)当
时,
在
时是增函数,又函数
是减函数,不妨设
,则
等价于

即
,故原题等价于函数
在
时是减函数,

恒成立,即
在
时恒成立.

在
时是减函数

22．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠D=∠CBE，

∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；

（2）设BC的中点为N，连接MN，

则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，

∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，

∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形

23．解：（1）
：
，-------------------2分

：
，-----------------------------------4分

因为曲线
关于曲线
对称，
，
：
------5分

（2）
；