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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文科）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知
=1+i（i为虚数单位），则复数z=

2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图1所示

若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是

A.3 B.4 C.5 D.6

3.设x
R，则”x>1”是”
>1”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.若变量x,y满足约束条件
则z=2x-y的最小值为

A.-1 B.0 C.1 D.2

5.执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3,则输出的S=

A.
B.
C.
D.

若双曲线
的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

7.若实数a,b满足
，则ab的最小值为

A.
B.2 C.2
D.4

8.设函数
，则
是

奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数

C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数

9.已知点A，B，C在圆
上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2,0），则
的最大值为

A.6 B.7 C.8 D.9

10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积）

A.
B.
C.
D.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.已知集合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，则A
（
）=________

12.在直角坐标系xOyz中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=3sin
，则曲线C的直角坐标方程为______

13.若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2（r>0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则r=___________.

14.若函数f（x）=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是___________

15.已知w>0，在函数y=2sin mx余y=2 cos wx 的图像的交点，距离最短的两个交点的距离为2
，则w=________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是：从袋有2个红球A1 、A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1 、a2和2个白球b1、b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果

（II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

17. （本小题满分12分）

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b tanA.

（Ⅰ）证明：sinB=cosA

（Ⅱ）若sinC—sinAcosB=
，且B为钝角，求A，B，C.

18.（本小题满分12分）

如图4，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.

（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1

（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F—AEC的体积.

19（本小题满分13分）

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn- Sn+1, n
.

（Ⅰ） 证明：an+2=3 an

（Ⅱ） 求Sn

20.（本小题满分13分）

已知抛物线C1 ：X2=4y的焦点F也会椭圆 C1：
+
=1（a>b>0）的一个焦点。C1 与C2的公共弦的长为2
.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C1相交于C，D两点，且
与
同向。

求C2的方程；

若︱AC︱=︱BD︱，求直线l的斜率。

21.（本小题满分13分）

已知a>0，函数f(x)=a
(x
[0，+
））。记xe为f(x)的从小到大的第n（n
）个极值点。

（Ⅰ）证明：数列{f(xn)}是等比数列；

（Ⅱ）若对一切n
，xn
| f(xn)|恒成立，求a的取值范围。

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