莆田一中2014-2015学年度高三考前模拟考

数学(文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1、已知
为虚数单位，
，若
为纯虚数，则复数
的模等于( )

A．
　 B．
C．
D．

2、已知集合
，集合
，则
( )

A．
　 B．
C．
D．

3、
( )

A.
B．
C．
D．

已知
成等差数列，
成等比数列，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.
或

5、“
”是“
恒成立”的（ ）

A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

6、
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a,b,c，成等比数列，且c=2a，则cosC=( )

A.
B.
C.
D.

7、已知区域
，定点A（3，1），在M内任取一点P，使得
的概率为( )

A.
B.
C.
D.

8、设
，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是( )

A．S=2,这5个数据的方差 B．S=2,这5个数据的平均数

C．S=10,这5个数据的方差 D．S=10,这5个数据的平均数

9、现有四个函数：①
;②
;③
; ④
的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正

确的一组是( )

A．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②①

10、已知a＞0，x，y满足约束条件
，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ 　　）

A．
B．
C． 1 D． 2

11、一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为( )A．
B．
C．4
D．

12、定义:如果函数
在[a,b]上存在
满足
,
,则称函数
是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数
是[0,a] 上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是( )

A.
B.(
) C. (
,1) D. (
,1)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．

13、某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ．

14、设奇函数
的定义域为R，且周期为5，若
=-1，
则
= .

15、已知双曲线
的右焦点为
，过
作斜率为
的直线交双曲线的渐近线于点
，点
在第一象限，
为坐标原点，若
的面积为
，则该双曲线的离心率为 ．

16、已知数列
满足
.定义：使乘积
为正整数的
叫做“易整数”.则在
内所有“易整数”的和为________.

三．解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程

17、（本小题满分12分）正方形
所在平面与三角形
所在平面相交于
，
平面
，且
，
．

（1）求证：
平面
；（2）求凸多面体
的体积．

18、（本小题满分12分）在等差数列
中，前n项和为Sn，且满足
．

(1)求数列
的通项公式；

(2)设数列
满足
求数列
的前n项和为Tn：

19、（本小题满分12分）

已知函数

的图象如图所示·

(1)求f（x)在R上的单调递增区间；

（2）设
是函数y=f(x)的一个零点，求
的值．

20、（本小题满分12分）从某学校的
名男生中随机抽取
名测量身高,被测学生身高全部介于
cm和
cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[
,
),第二组[
,
),,第八组[
,
],右图是按上述分组方法得到的 频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为
人.

(1)求第七组的频率;

(2)估计该校的
名男生的身高的中位数以及身高在
cm以上(含
cm)的人数;

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为
,事件
{
},事件
{
},求
.

21、（本题满分12分）如图,在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，直线
与
轴交于点
，与椭圆
交于
、
两点. 当直线
垂直于
轴且点
为椭圆
的右焦点时， 弦
的长为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）是否存在点
，使得
为定值？若存在，请指出点
的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.

22、（本小题满分14分）已知
，设函数
．

（1）若
在
上无极值，求
的值；

（2）若存在
，使得
是
在[0, 2]上的最大值，求t的取值范围；

（3）若
（
为自然对数的底数)对任意
恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围．

莆田一中2014-2015学年度5月模拟考试试卷

高三 数学(文科）参考答案

1-5CCDBA 6-10 BBACB 11-12 AC 13、3 14、2 15、
16、2036 　 　

17、（1）证明：∵
平面
，
平面
，

∴

． 在正方形
中，
，

∵
，∴
平面
．

∵
，∴
平面
．

（2）解法1：在
△
中，
，
，

∴
．

过点
作
于点
，

∵
平面
，
平面
，

∴
．

∵
，

∴
平面
．

∵
，

∴
．又正方形
的面积
，

∴

．

故所求凸多面体
的体积为
．

解法2：在
△
中，
，
，

∴
．

连接
，则凸多面体
分割为三棱锥

和三棱锥
．

由（1）知，

．

∴
．

又
，
平面
，
平面
，

∴
平面
．∴点
到平面
的距离为
的长度．

∴
．

∵
平面
，∴
．

∴

．

故所求凸多面体
的体积为
．

18、解：(Ⅰ)设数列{an}公差为d，

由题设得
解得

∴ 数列{an}的通项公式为：
(n∈N*)． ………………………………5分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：
…………………………………6分

①当
为偶数，即
时，奇数项和偶数项各
项，

∴

?
； ………………………9分

②当
为奇数，即
时，
为偶数．

∴
．

综上：
…………………………12分

19. 解：(Ⅰ) 由图象知，
，故
，

，即
，于是由
，解得
．

∵
，且
，解得
．

∴
． …………………………………………………4分

由
≤
≤
，
，解得
≤x≤
，
，

即
在R上的单调递增区间为
．………………6分

(Ⅱ)由条件得：
，即
．

∵
且
在
上是增函数，

>0，
>0，
在
上是减函数，

∴
，∴
，………9分

∴
， …………………………………10分

∴

． …………………………………………………………12分

20,解：(Ⅰ)第六组的频率为
,所以第七组的频率为

; ………3分

(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为
,

身高在第二组[160,165)的频率为
,

身高在第三组[165,170)的频率为
,

身高在第四组[170,175)的频率为
,

由于
,

估计这所学校的800名男生的身高的中位数为
,则

由
得

所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为

由直方图得后三组频率为
,

所以身高在180cm以上(含180cm)的人数为
人；………7分

(Ⅲ)第六组
的人数为4人,设为
,第八组[190,195]的人数为2人, 设为
,则有

共15种情况,

因事件
{
}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件
包含的基本事件为
共7种情况,故

由于
,所以事件
{
}是不可能事件,

由于事件
和事件
是互斥事件,所以
. ………12分

21、解：（1）由
，设
，则
，
，

所以椭圆
的方程为
，因直线
垂直于
轴且点
为椭圆
的右焦点，即
，代入椭圆方程，解得
，于是
，即
，

所以椭圆
的方程为
………………………………5分

（2）假设存在点
，使得
为定值，设
，

当直线
与
轴重合时，有
，

当直线
与
轴垂直时，
，

由
，解得
，
，

所以若存在点
，此时
，
为定值2.………8分

根据对称性，只需考虑直线
过点
，设
，
，

又设直线
的方程为
，与椭圆
联立方程组，

化简得
，所以
，
，

又
，

所以
，

将上述关系代入，化简可得
.

综上所述，存在点
，使得
为定值2……………12分

22,（Ⅰ）
，又
在(0, 2)无极值

………………3分

（Ⅱ）①当
时，
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，

由
得：
在
时无解

②当
时，不合题意；

③当
时，
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，

即

④当
时，
在
单调递增，在
单调递减，满足条件

综上所述：
时，存在
，使得
是
在[0,2]上的最大值.………………8分

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