2015年5月江山市高三教学质量检测

数学（文科）

选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.已知实数
则“
”是“
”的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知
为不同的直线，
为不同的平面，则下列命题正确的是 （ ）

A．若
∥
，
∥
，则
∥
B．若
，
，
⊥
，则
⊥

C．若
⊥
，
∥
，
∥
，则
⊥

D．若
∥
，
⊥
，
⊥
，则
∥

3.已知非零向量
满足
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4.函数
的部分图象如图所示，则
的值（ ）

A．
B.

C．

D.

5.数列
的前
项和为
，且
，若存在两项
，使得
，则
的最小值为 （ ）

A．
B.

C．

D. 不存在

6．若函数
的大致图象如图所示，其中
为常数，则函数
的大致图象为 (　　)

7. 已知变量
满足约束条件
，目标函数
的最小值为
，则该目标函数的最大值为 （ ）

A.
B.
C.
D.

8.设双曲线
为双曲线
的焦点，若双曲线
上存在点
，满足
（
为原点），则双曲线
的离心率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（9，10两题每题3个空格,每空格2分，11，12两题每题2个空格,每空格3分，13-15题每题1个空格,每空格4分，共36分）

9.已知集合
，
，则
，
，

.

10.已知

，则
，
，
.

11.已知某几何体的三视图如图所示，正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为 ，表面积为 .

12. 直线

过定点 ，
与圆
的位置关系是 .

13. 设函数
，则方程
的解是 ．

14.在平面直角坐标平面上，
,
,且
与
在直线
上的射影长度相等，则直线
的斜率为 .

15.设实数
满足
，则
的最小值为 ．

三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算.)

16．(14分)已知
中，
的对边分别为
，且
，
．

（Ⅰ）若
，求边
的大小； （Ⅱ）求
边上高的最大值。

17. (15分) 已知等差数列
的前
项和

（1）求
及
；

（2）当
时设
，且
对一切
的自然数恒成立，求实数
的取值范围．

18.（15分）如图,在梯形
中，已知
,
。以
为边向外作正三角形
，现以
为对折线将梯形折起，使
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值．

19. （15分）已知动圆过定点
，且与直线
相切.

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹
的方程；

（Ⅱ）设
是轨迹
上异于原点
的两个不同点，直线
的倾斜角分别为
和
，当
变化且
为定值

时，求证直线
恒过定点，并求出该定点的坐标.

20. （15分）已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围。

2015年5月江山市高三教学质量检测

数学（文科）参考答案

1－8A D C C C B A D

9.


10.
,
,

11.
,
12.
,相交或相切13.
14.
或
15.

16．已知
中，
的对边分别为
，且
，
．

(1)若
，求边
的大小；

(2)求
边上高的最大值。

解（1）
………… 3分

所以
，得
……… 5分

，则
，由
，得
………7分

（2）解：设
边上的高为
,

，
，
……… 9分

又
，
……… 12分

，当时
取到等于号, 所以
边上的高
的最大值
……14分

17.已知等差数列
的前
项和

（1）求
及
；

（2）当
时设
，且
对一切
的自然数恒成立，求实数
的取值范围．

解：（1）
…………… 5分

（2）
…… 7分

… 10分

，即
……… 12分

……… 14分

………… 15分

18.如图,在梯形
中，已知
,且
。以
为边向外作正三角形
，现以
为对折线将梯形折起，使
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）证明：连结

，

，

又

，同理
………………4分

又

…………………………………………7分

（Ⅱ）取
中点
,连
，易知，

,易得
,则

作
,垂足为
.于是
,连

显然
为
与平面
所成角…………………………10分

在直角三角形中
中，

，

在直角三角形中
中，
,

，

………………………………………………14分

所以直线
与平面
所成角的正弦值
……………………15分

19.已知动圆过定点
，且与直线
相切.

（1）求动圆圆心的轨迹
的方程；

（2）设
是轨迹
上异于原点
的两个不同点，直线
的倾斜角分别为
和
，当
变化且
为定值

时，求证直线
恒过定点，并求出该定点的坐标.

解:(1)设动圆圆心M(x,y),F(1,0)，过M作x=-1的垂线，垂足为N,由题意知：
,由抛物线定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(1,0)为焦点，x=-1为准线，则所求的轨迹方程为

（2）设
,B
由题意


且


0，所以设直线AB方程为y=kx+b,
---------------

则消去x，得

由韦达定理知
+
=
，

=
---------------

1)当
，所以
，即
，所以

=16，由

=
得b=4k.直线AB