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试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

设复数z满足
=i，则|z|=

（A）1 （B）
（C）
（D）2

（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）设命题P：
n
N，
>
，则
P为

（A）
n
N,
>
（B）
n
N,
≤

（C）
n
N,
≤
（D）
n
N,
=

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312

（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：
上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若


＜0，则y0的取值范围是

（A）（-
，
） （B）（-
，
）

（C）（
，
） （D）（
，
）

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

（7）设D为
ABC所在平面内一点
=3
，则

（A）
=
+
(B)
=

（C）
=
+
(D)
=

(8)函数f(x)=
的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为

(A)（
）,k
(b)（
）,k

(C)（
）,k
(D)（
）,k

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

的展开式中，
y2的系数为

（A）10 （B）20 （C）30（D）60

圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20
，则r=

（A）1（B）2（C）4（D）8

12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a
1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）
0，则a的取值范围是（ ）

A.[-
，1） B. [-
，
） C. [
，
） D. [
，1）

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数f(x)=xln（x+
）为偶函数，则a=

（14）一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。

（15）若x,y满足约束条件
则
的最大值为 .

（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，

（Ⅰ）求{an}的通项公式：

（Ⅱ）设
,求数列
}的前n项和

（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。






（x1-
）2


（w1-
）2


（x1-
）(y-
)


（w1-
）(y-
)



46.6

56.3

6.8

289.8

1.6

1469

108.8



表中w1 =
1, ，
=

根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线v=
u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

（20）（本小题满分12分）

在直角坐标系xoy中，曲线C：y=
与直线y=ks+a(a>0)交与M,N两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。

（21）（本小题满分12分）

已知函数f（x）=

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线
的切线；

（Ⅱ）用

表示m,n中的最小值，设函数
，讨论h（x）零点的个数

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是☉O的直径，AC是☉C的Q切线，BC交☉O于E

若D为AC的中点，证明：DE是
O的切线；

若OA=
CE，求∠ACB的大小.?

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中。直线
:

=
2，圆
：
,以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

求
，
的极坐标方程；

若直线
的极坐标方程为
，设
与
的交点为
,
,求
的面积

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式
f(x)>1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围