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2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案卸载试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

第Ⅰ卷（共50分）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

已知集合A={X|X2-4X+3<0}，B={X|2

（A）（1，3） （B）（1，4） （C）（2，3） （D）（2，4）

【答案】C

【解析】

（2）若复数Z满足
，其中i为虚数为单位，则Z=

（A）1-i （B）1+i （C）-1-i （D）-1+i

【答案】A

【解析】

（3）要得到函数y=sin（4x-
）的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（）

（A）向左平移
个单位??（B）向右平移
个单位

（C）向左平移
个单位???（D）向右平移
个单位

【答案】B

【解析】

（4）已知ABCD 的边长为a，∠ABC=60o ,则
.
＝

（A）-
（B）-
（C）
（D）

【答案】D

【解析】

（5）不等式|X-1|-|X-5|<2的解集是

（A）（-
，4） （B）（-
，1）

（C）（1，4） （D）（1，5）

【答案】A

【解析】

（6）已知x,y满足约束条件
，若z=ax+y的最大值为4，则a=

（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3

【答案】B

【解析】

（7）在梯形ABCD中，∠ABC=
，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）2

【答案】C

【解析】

（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为

（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2）），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，

P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）

（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%

【答案】B

【解析】

（9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆
相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

（A）
或
（B
或

（C）
或
（D）
或

【答案】D

【解析】

（10）设函数f(x)=
,则满足f(f(a))=
的a取值范围是（）

（A）[
，1] （B）[0，1]

（C）[
（D）[1，+

【答案】C

【解析】

第Ⅱ卷（共100分）

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）观察下列各式：

C10
=40

……

照此规律，当n
N时，

C02n-1 + C12n-1 + C22n-1 +…+ Cn-12n-1 = .

【答案】

【解析】

(12)若“
x
[0,
]，tanx
m”是真命题，则实数m的最小值为 .

【答案】1

【解析】

（13）执行右边的程序框图，输出的T的值为 .?

【答案】

【解析】

(14)已知函数
的定义域和值域都是
，则

【答案】

【解析】

（15）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：
（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C2：X2=2py(p>0)交于O，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ＿＿＿

【答案】

【解析】

三、解答题：本答题共6小题，共75分。

（16）（本小题满分12分）

设f（x）=
2（x+
）.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（
）=0,a=1,求△ABC面积的最大值。

【答案】

【解析】

(17)(本小题满分12分)

如图，在三棱台DEF-ABC中，

AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点。

（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；

（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE, ∠BAC=
,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.

（18）（本小题满分12分）

设数列
的前n项和为
.已知2
=
+3.

（I）求
的通项公式；

（II）若数列
满足
，求
的前n项和
.

（19）（本小题满分12分）

若
是一个三位正整数，且
的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称
为“三位递增数”（如137，359，567等）.

在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得
分；若能被10整除，得1分.

（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；

（II）若甲参加活动，求甲得分
的分布列和数学期望
.

（20）（本小题满分13分）

平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
的离心率为
，左、右焦点分别是
.以
为圆心以3为半径的圆与以
为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆
上.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设椭圆
为椭圆
上任意一点，过点
的直线
交椭圆
于
两点，射线
交椭圆
于点
.

( i )求
的值；

（ii）求△
面积的最大值.

(21)(本小题满分14分)

设函数
，其中
。

（Ⅰ）讨论函数
极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若
>0，

成立，求
的取值范围。

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