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2015年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，则

A．

B．

C．

D．



2．若a为实数，且
，则a =

A．-1

B．0

C．1

D．2



3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是



A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

4．已知等比数列
满足a1 = 3，a1 + a3 + a5 = 21，则a3 + a5 + a7 =

A．21

B．42

C．63

D．84



5．设函数
，则

A．3

B．6

C．9

D．12



6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

A．

B．



C．

D．



7．过三点
，
，
的圆交y轴于M，N两点，则

A．

B．8

C．

D．10



8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a =

A．0

B．2



C．4

D．14



9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB = 90°，C为该球面上的动点。若三棱锥O—ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36π

B．64π



C．144π

D．256π



10．如图，长方形ABCD的边AB = 2，BC = 1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠AOB = x。将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数
，则
的图象大致为



A




B




C




D



11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ΔABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为

A．

B．2

C．

D．



12．设函数
是奇函数
的导函数，
，当x > 0时，
，则使得函数
成立的x的取值范围是

A．

B．



C．

D．



第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设向量a，b不平行，向量
与
平行，则实数λ = __________。

14．若x，y满足约束条件
，则
的最大值为__________。

15．
的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a = __________。

16．设Sn是数列
的前n项和，且a1 = -1，an+1 = SnSn+1，则Sn = __________。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，ΔABD面积是ΔADC面积的2倍。

（1）求
；

（2）若AD = 1，
，求BD和AC的长。

18．（本小题满分12分）

某公司了解用户对其产品满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：

62

73

81

92

95

85

74

64

53

76





78

86

95

66

97

78

88

82

76

89



B地区：

73

83

62

51

91

46

53

73

64

82





93

48

65

81

74

56

54

76

65

79



（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

A地区



B地区





4

5

6

7

8

9





（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分

低于70分

70分到89分

不低于90分



满意度等级

不满意

满意

非常满意



记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件的概率，求C的概率。

19．（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：
，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（2）若l过点
，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。

21．（本小题满分12分）

设函数
。

（1）证明：
在
单调递减，在
单调递增；

（2）若对于任意
，都有
，求m的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号

22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且
，求四边形EBCF的面积。

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1：
（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
，C3：
。

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求
的最大值。

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：

（1）若ab > cd；则
；

（2）
是
的充要条件。

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