2015年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷

数学（理科）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共６页，时量120分钟，满分150分.

一、选择题：本大题共10小题，每小题５分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

１．已知
，则复数
＝（　　　）

A.
B.
C.
D.

２．设
是两个集合，则“
”是“
”的（　　　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

３．执行如图１所示的程序框图.如果输入
，则输出的

A.
B.

C.
D.

４．若变量
满足约束条件
，则
的最小值为（　　　）

A.
B.
C.
D.

５．设函数
，则
是（　　　）

A.奇函数，且在
上是增函数 B.奇函数，且在
上是减函数

C.偶函数，且在
上是增函数 D.偶函数，且在
上是减函数

６．已知
的展开式中含
的项的系数为30，则
＝（　　　）

A.
B.
C.
D.

７．在如图２所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线
为正态分布
的密度曲线）的点的个数的估计值为（　　　）

A. 2386 B. 2718

C. 3413 D. 4772

附：若
，则

８．已知点
在圆
上运动，且
.若点
的坐标为
，则

的最大值为（　　　）

A.６ B.７ C.８ D.９

９．将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，若对满足
的
有
，则
＝（　　　）

A.
B.
C.
D.

10．某工件的三视图如图３所示.现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为

A.
B.

C.
D.

二、填空题：本小题共５小题，每小题５分，共２５分.

11．
＝　　　　.

12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图４所示：

若将运动员按成绩由好到差编为１～35号，再用系统抽样方法从中抽取７人，则其中成绩在区间
上的运动员人数是　　　　　.

13．设
是双曲线
的一个焦点.若
上存在点
，使线段
的中点恰为其虚轴一个端点，则
的离心率为　　　　　.

14．设
为等比数列
的前
项和.若
且
成等差数列，则
＝　　　　.

15．已知函数
，若存在实数
，使函数
有两个零点，则
的取值范围是　　　　　　　　.

三、解答题：本大题共６小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

本小题设有I，II，III三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内.如果全做，则按所做的前两题计分.

I．（本题满分６分）选修４－１：几何证明选讲

如图５，在
中，相交于点
的两弦
的中点分别是
，直线
与直线
相交于
点，证明：

（i）

（ii）

II．（本题满分６分）选修４－４：坐标系与参数方程

已知直线
（
为参数）.以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为

（i）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（ii）设点
的直角坐标为
，直线
与曲线
的交点为
，求
的值.

III．（本题满分６分）选修４－５，不等式选讲

设
且
，证明：

（i）

（ii）
不可能同时成立.

17．（本小题满分12分）

设
的内角
的对边分别为
，
，且
为钝角.

（I）证明：
；

（II）求
的取值范围.

18．（本小题满分12分）

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有４个红球、６个白球的甲箱和装有５个红球、５个白球的乙箱中，各随机摸出１个球.在摸出的２个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有１个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.

（I）求顾客抽奖１次能获奖的概率；

（II）若某顾客有３次抽奖机会，记该顾客在３次抽奖中获一等奖的次数为
，求
的分布列和数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图６，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为３和６的正方形.
且

底面
，点
分别在棱
上.

（I）若
是
的中点，证明：

（II）若
平面
，二面角
的余弦值为
，求四面体
的体积.

20．（本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点
也是椭圆
的一个焦点，
与
的公共弦的长为
.

（I）求
的方程；

（II）过点
的直线
与
相交于
两点，与
相交于
两点，且
与
同向.

（i）若
，求直线
的斜率；

（ii）设
在点
处的切线与
轴的交点为
，证明：直线
绕点
旋转时，
总是钝角三角形.

21．（本小题满分12分）

已知
，函数
，记
为
的从小到大的第
个极值点.证明：

（I）数列
是等比数列；

（II）若
，则对一切
，
恒成立.