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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（文史类）

本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．
为虚数单位，

A．
B．
C．
D．1

2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534

石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为

A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石

3．命题“
，
”的否定是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

4．已知变量
和
满足关系
，变量
与
正相关. 下列结论中正确的是

A．
与
负相关，
与
负相关 B．
与
正相关，
与
正相关

C．
与
正相关，
与
负相关 D．
与
负相关，
与
正相关

5．
表示空间中的两条直线，若p：
是异面直线；q：
不相交，则

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

6．函数
的定义域为

A．
B．

C．
D．

7．设
，定义符号函数
则

A．
B．

C．
D．

8． 在区间
上随机取两个数
，记
为事件“
”的概率，
为事件“
”

的概率，则

A．
B．

C．
D．

9．将离心率为
的双曲线
的实半轴长
和虚半轴长
同时增加
个单位

长度，得到离心率为
的双曲线
，则

A．对任意的
，
B．当
时，
；当
时，

C．对任意的
，
D．当
时，
；当
时，

10．已知集合
，
，定义集合

，则
中元素的个数为

A．77 B．49 C．45 D．30

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11．已知向量
，
，则
_________．

12．若变量
满足约束条件
则
的最大值是_________．

13．函数
的零点个数为_________.

14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额

（单位：万元）都在区间
内，其频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）直方图中的
_________；

（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间
内的购物者的人数为_________.

15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到
处时测得公路北侧一山顶D在西偏北
的方向上，行驶600m后到达
处，测得此山顶在西偏北
的方向上，仰角为
，则此山的高度
_________m.

16．如图，已知圆
与
轴相切于点
，与
轴正半

轴交于两点A，B（B在A的上方），且
.

（Ⅰ）圆
的标准方程为_________；

（Ⅱ）圆
在点
处的切线在
轴上的截距为_________.

17． a为实数，函数
在区间
上的最大值记为
. 当
_________时，
的值最小.

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分12分）

某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象

时，列表并填入了部分数据，如下表：

0



























0

5





0



 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数
的解

析式；

（Ⅱ）将
图象上所有点向左平行移动
个单位长度，得到
图象，求

的图象离原点O最近的对称中心.

19．（本小题满分12分）

设等差数列
的公差为d，前n项和为
，等比数列
的公比为q．已知
，
，
，
．

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）当
时，记
，求数列
的前n项和
．

20．（本小题满分13分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

在如图所示的阳马
中，侧棱
底面
，且
，点
是
的

中点，连接
.

（Ⅰ）证明：
平面
. 试判断四面体
是

否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需

写出结论）；若不是，请说明理由；

（Ⅱ）记阳马
的体积为
，四面体
的

体积为
，求
的值．

第20题图

21．（本小题满分14分）

设函数
，
的定义域均为
，且
是奇函数，
是偶函数，

，其中e为自然对数的底数.

（Ⅰ）求
，
的解析式，并证明：当
时，
，
；

（Ⅱ）设
，
，证明：当
时，
.

22．（本小题满分14分）

一种画椭圆的工具如图1所示．
是滑槽
的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且
，
．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕
转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以
为原点，
所在的直线为
轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线
与两定直线
和
分别交于
两点．若直线

总与椭圆
有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）试题参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．D 8．B 9．D 10．C

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

11．9 12．10 13．2 14．（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000

15．
16．（Ⅰ）
；（Ⅱ）
17．
三、解答题（本大题共5小题，共65分）

18．（12分）

（Ⅰ）根据表中已知数据，解得
. 数据补全如下表：

0



























0

5

0



0



且函数表达式为
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，因此
.

因为
的对称中心为
，
. 令
，解得
，
.

即
图象的对称中心为
，
，其中离原点O最近的对称中心为
.

19．（12分）

（Ⅰ）由题意有，
即

解得
或
故
或

（Ⅱ）由
，知
，
，故
，于是

， ①

. ②

①-②可得

，

故

.

20．（13分）

（Ⅰ）因为
底面
，所以
.

由底面
为长方形，有
，而
，

所以
平面
.
平面
，所以
.

又因为
，点
是
的中点，所以
.

而