泉州七中2015届高三年校质检（二）文科数学试卷 2015-05-30

考试时间：120分钟 满分：150分 命卷人： 黄永生 复核人：饶真平

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．

1．抛物线
的准线方程为 (　)

A．
　 　B．
C．
D．

2．根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良

的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空

气质量优良天数的中位数是(　)

A.
B.
C.
D.


3. 下列说法正确的是(　)

A．“
”是“函数
是奇函数”的充要条件

B．若
，
，则

，

C．若
为假命题，则p，q均为假命题

D．“若
，则
”的否命题是“若
，则
”

4．若双曲线
的渐近线方程为
，则椭圆
的离心率为( )

A.
B.
C.
D.

5. 设实数
满足
，则
的最大值是(　)

A．
B．
C．2 D．3

6.已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸如图，则该墨水瓶的容积为（瓶

壁厚度忽略不计）（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 函数
（其中
）的图象如下图所示，为了得到
的图像，则只要将
的图像（ ）

A．向右平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

8. 圆心在曲线
上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程为（）

A.
B.

C.
D.

9. 若
满足
，
，则下列三个式子中为定值的式子的个数为(　 )

①
， ②
， ③

A．0 B．1 C．2 D．3

10. 某棵果树前
年的总产量
与
之间的关系

如图所示，从目前记录的结果看，前
年的年

平均产量最高，则
的值为（ ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

11. 已知
是定义域为
的单调函数，且对任意的
，都有
，则函数
的图像大致是（ ）

12. 如图，正方体
中，
，
，点
为平面
内的一动点，且满足
，则点
的轨迹是（ ）

A、抛物线　 B、圆 C、椭圆　　 　D、双曲线

第Ⅰ卷（选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13. 设
为虚数单位，则复数
= ．

14. 已知{
}是斐波那契数列，满足
中各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{
}，则b2015= ．

15. 定义一种运算
，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“
”的含义。那么，按照运算“
”的含义，计算
．

16. 若函数
的图像关于直线
对称，则
的最大值是

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要文字说明、证明过程演算步骤．

17.（本题满分12分）

甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形， 且

每个扇形圆心角均为
，边界忽略不计)即为中奖．

乙商场：从装有
个白球和
个红球的盒子中一次性摸出
球(这些球除颜色外完全相同)，如果摸到的是
个红球，即为中奖．

试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.

18. （本题满分12分）

已知各项均为正数的等比数列
中，
，

（1）求数列
的通项公式

（2）将同时满足下列两个条件的数列
称为“约束数列”：

①
；

②存在常数
，使得数列
的前
项和
对任意的
恒成立。

试判断数列
是否为“约束数列”，并说明理由。

19. （本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
，
平面
,

平面
，
，
，
.

（1）求棱锥
的体积；（2）求证：平面

平面
；

（3）在线段
上是否存在一点
,使
平面
？若存在,求出

的值；若不存在，说明理由.

20. （本题满分12分）

已知曲线
上的点到
和
的距离之和为定值
.

（1）求曲线
的方程；

（2）过
的直线
与椭圆交于不同的两点
,若以
为直径的圆恰好过椭圆的右焦点，求直线
的方程。

21. （本题满分12分）

如图①，一条宽为l km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元／km、4万元／km．

（1）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆仰，需要改造，旧电缆的改造费用是
万元／km．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．

（2）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、E B．若∠DCE=θ （0≤θ≤
），试用θ表示出总施工费用y（万元）的解析式， 并求y的最小值．

22. （本题满分14分）

已知函数
，
．

（1）求函数
的图象在点
处的切线方程；

（2）若函数
图象上的点都在第一象限，试求常数
的取值范围；

（3）证明：
，存在
，使
．

泉州七中2015届高三年校质检（二）文科数学试卷参考答案2015-05-30

一、选择题： CCDCAB,DACCAC

二、填空题： 13.
14.1 15.1 16. 16

三、解答题(解答时应写出必要文字说明、证明过程演算步骤)．

17. 解：设顾客去甲商场，转动圆盘，指针指向阴影部分为事件
，

试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为
（
为圆盘的半径)，阴影区域的面积为
.所以，
. …5分

设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件
，记盒子中
个白球为
，
，
，
个红球为
，
，
，记
为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共
种.

摸到的
个球都是红球有
，
，
，共
种.

所以，

. …………………11分

因为
，所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． ………12分

18.

19. （Ⅰ）解：在
中，
. …………1分

因为
平面
，

所以棱锥
的体积为
. …4分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，
平面
，

所以
. ……………5分

又因为
，
,

所以
平面
. ………………7分

又因为
平面
，

所以平面

平面
. ………………8分

（Ⅲ）结论：在线段
上存在一点
,且
，使
平面
.………………9分

解：设
为线段
上一点, 且
， ………………10分

过点
作
交
于
，则
.

因为
平面
,
平面
，

所以
.

又因为

所以
，
,

所以四边形
是平行四边形，

则
. 又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………12分

20. 解：(1)依题意：设
曲线
上的任意一点，则
,所以
的轨迹是以
为焦点，长轴长
的椭圆。
曲线方程：
。…4分 （2）联立
，得
所以
…………6分
……7分

即
……8分

……9分 解得：
……10分

此时
……11分

所以所求的直线方程为：
…………12分

21. 解：（Ⅰ）由已知可得
为等边三角形．因为
，所以水下电缆的最短线路为
．过
作
于E，可知地下电缆的最短线路为
、
． 3分

又
，故该方案的总费用为

（万元） …………5分

（Ⅱ）因为

所以
． 7分

则
， 8分

令
则
，

因为
，所以
，

记
当
，即
≤
时，

当
，即
<
≤
时，
，

所以
，从而
， 12分

此时
，因此施工总费用的最小值为（
）万元，

其中
…………12分

22. 解：（1）函数的定义域为
,

，

函数
的图象在点
处的切线为
，

即
…………………………4分

（2）①
时，
，因为
，所以点
在第一象限，依题意，

②
时，由对数函数性质知，
时，
，
，从而“
，
”不成立

③
时，由
得
，设
，











－









↘

极小值

↗




，从而
，

综上所述，常数
的取值范围
…………………………8分

（3）计算知

设函数

，

当
或
时，

，

因为
的图象是一条连续不断的曲线，所以存在
，使
，

即存在
，使
；

当
时，
，而且
、
之中至少一个为正，

由均值不等式知，
，等号当且仅当
时成立，

所以
有最小值
，

且
，

此时存在
（
或
），使

综上所述，
，存在
，使
………………14分

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