2015年5月江山市高三教学质量检测

数学（理科）

一、选择题（每题5分，8题共40分）

1．已知实数
则“
”是“
”的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知奇函数
在
上是单调减函数,且
，则不等式
的解集为(　　)

(A)
(B)

(C)
(D)

3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为

A．
B．
C．
D．

4．函数
与
在同一直角坐标系下的图象大致是(　　)




5.△ABC中,
,BC=3,则△ABC的周长为(　　)

(A)


(B)

(C)
(D)

6.设变量
满足约束条件
，目标函数
的最小值为
，则
的值是(　　)

A．

B．

C．
D．

7. 若平面向量
满足
且
,则
可能值有 ( )

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5个

8.如图，F1,F2分别是双曲线

（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是( )

(A)
(B)
(C)
(D)

二、填空题（第9题3空，每空2分，10到12每题两空，每空3分，13到14每题一空，每空4分，共36分）

9．已知全集
，集合
，集合
，则

= ，
，
．

10．设等比数列
的首项
，且
，
，
成等差数列，则公比
= ，数列
的前n项和
= ．

11．设函数
，则
= ；方程
的解是 ．

12.函数
的值域为 ;最小正周期为 .

13.若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”).已知函数
则f(x)的“友好点对”有　　　个.

14．抛物线y2＝2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为________．

15．在直三棱柱
中，
，已知
与
分别为
和
的中点，
与
分别为线段
与
上的动点（不包括端点）.若
，则线段
的长度的取值范围为

三．解答题（16题-19题每题15分，20题14分，共74分）

16．在
中,角
所对的边分别为
且满足:

.

(Ⅰ)求角
的值;

(Ⅱ)若
,求
的面积
的最小值.

17.如图所示,在四棱柱
中,底面
是梯形,
,侧面
为菱形,
.

(Ⅰ)求证:
;

(Ⅱ)若
,点
在平面
上的射影恰为线段
的中点,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.

18．已知数列
的前
项和
满足

(Ⅰ)写出数列
的前三项
．

(Ⅱ)求数列
的通项公式．

（Ⅲ）证明：对任意的整数
有
．

19．已知点
的坐标分别为
，直线
相交于点
，且斜率之积为
．(Ⅰ)求动点
的轨迹
的方程；

(Ⅱ)已知
点坐标为
，如果过点
的直线与轨迹
交于
两点（

点与
点不重合）

①求证:
；

②当
为等腰直角三角形时，求直线
的方程

20．已知函数

，其中
．

（1）当
时，方程
恰有三个根，求实数
的取值范围
；

（2）当
时，是否存在区间
，使得函数的定义域与值域均为
，若存在请求出所有可能的区间
，若不存在请说明理由；

2015年5月江山市高三教学质量检测

数学（理科）参考答案

选择题（每题5分，8题共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

A

C

D

A

B

B



填空题（第9题3空，每空2分，10到12每题两空，每空3分，13到14每题一空，每空4分，共36分）

9．
，
，

10．

11．

12． [-
,
] 2
13．2 14．  15．

三．解答题（16题-19题每题15分，20题14分，共74分）

16.(Ⅰ) 由题意得:

┈┈7分

(Ⅱ) 因为
所以

,又

当且仅当
时,
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 15分

17.解一：（Ⅰ）因为侧面
为菱形，所以
，又
，

所以

，

从而
. ………7分

（Ⅱ）设线段
的中点为
，连接
、
，由题意知
平面
.因为侧面
为菱形，所以
，故可分别以射线
、射线
、射线
为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系
，如图1所示.

设
，由
可知
，
，所以
，从而
，
，
，
. 所以
.

由
可得
，所以
. ………9分

设平面
的一个法向量为
，由
，
，

得
取
，则
，
，所以
. ………11分

又平面
的法向量为
，所以
.

故平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
. ………15分

解二：（Ⅰ）连接
、
、
，设
交
于点
，

连
，如图2所示.

由
，
可得△
≌△
，

所以
.由于
是线段
的中点，所以
，

又根据菱形的性质
，所以
平面
，

从而
. ………7分

（Ⅱ）因为
，
，所以延长
、
交于点
，

延长
、
交于点
，且
，
.连接
，

则
.过点
作
的垂线交
于点
，交
于点
，

连接
，如图3所示.因为
，所以
.

由题意知
平面
，所以由三垂线定理得
，

故
是平面
与平面
所成二面角的平面角. ………9分

易知
，
，所以
.在
△
中，

，所以
.

故平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
. ………15分

18．解：
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 3分

（2）当
由待定系数法可得

为等比数列

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分

（3）

当
且
为奇数时，

当
为偶数时

当
为奇数时，同理可得

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 15分

19．解：
设
，则
，化简得

轨迹
的方程为
┈┈┈┈┈┈┈┈5分

①若过点
的直线的斜率不存在，此时
两点中有一点与
点重合，不满足条件，所以直线
的斜率存在．设直线
的斜率为
，则直线
的方程为
．把
代入椭圆
的方程得
，

设
，则
，
，所以

因为
，

②由①知
，如果
为等腰直角三角形，设
的中点为
，则

，则

若
，则
，显然满足
，此时直线
的方程

若
，则
，解得
，所以直线
的方程为

，即
或

综上所述：
或
或
．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 15分

20.解：（1）由函数图象可得
…………………..6分

(2) 解法一：

又
，故
，所以
在区间
上的最小值在
上取到。又
在区间
上单调递增，故

故

4）当
时，由

，
知，
，矛盾。

5）当
时，
在区间
上单调递减，
上单调递增。故
，矛盾

6）当
时，
在区间
上单调递增，故
，得
，矛
盾。

综上所述
，即存在区间
满足条件。┈┈┈┈┈ 15分

20当
时，即
时，则
，故
在区间
上的最
大值在
上取到。又因为
在区间