2015年高考诊断性测试

数学（文）

选择题

CDBAD DCBDA

填空题

11.
且
} 12. ④ 13. 14.
15. ②③④

三．解答题

16.解：（1）由题可知，
，所以
，解得
.

又由已知可得
， ……………2分

因为
，
， ……………5分

所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. ……………6分

(2) 从被检测的
辆甲品牌轻型汽车中任取辆，共有
种二氧化碳排放量结果：

， …………10分

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过
”为事件,

则
，

所以至少有一辆二氧化碳排放量超过
的概率是
. ………12分

17.解：（1）
， ……3分

令
，解得
，

所以
的单调递减区间为
. ………6分

(2) ∵
，∴
，

又
，∴
，即
， …………8分

∵
，由余弦定理得
．……①

因为向量
与
共线，所以
，

由正弦定理得
， ……② ………11分

解①②得
，
． …………12分

18.(1)证明：因为
平面
，所以
. ……………2分

因为
是正方形，所以
，又
,

从而
平面
. ……………5分

(2)解：延长
交于点
,

因为
，
，

所以
, …………7分

因为
， 所以
,

所以
，所以
,……10分

又
平面
，
平面
，

所以
平面
. …………12分

19. 解：（1）由
，及
，作差得
，

即数列
成等比数列，
，

当
时，
，解得
，故
. …5分

(2) 当
时，
，
，

, ………8分

,

,

作差得
，

所以
. ………12分

20. 解:⑴由已知
，
，
，
，
，
， ……2分

依题意：

，所以

； ……5分

⑵
，
时，
，

①
时，
，
，即
； ………6分

②
时，
，
，即
； ………7分

③
时，令
,则
.

设
，则
，

当
时,
在区间
单调递减；

当
时,
在区间
单调递增.

所以当
时,
取得极小值, 且极小值为

即
恒成立，故
在上单调递增,又
,

因此,当
时,
,即
. ……12分

综上，当
时,
；当
时,
；

当
时,
． ……13分

21. 解：(1)设椭圆的右焦点
，由右焦点到直线
的距离为
，解得
，

又由椭圆的离心率为
，

，解得
，

所以椭圆的方程为
. ………… 4分

(2) ①若直线
过椭圆的左顶点，则直线的方程是
，

联立方程组
，解得
，

故
. ………7分

②猜测：
.证明如下： ………8分

设直线
在轴上的截距为,所以直线
的方程为
.

由
, 得
.

设
、
,则
，
. ………10分

又

故

.

又
，
，

所以

故
. ………14分