高 三 数 学（文）

本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．

第Ⅰ卷 （选择题，共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上．

一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数
对应的点的坐标为

A.
B.
C.
D.

2．已知全集为，集合
，则

A.
B.

C.
D.

3．函数
与

图形的交点为
，则所在区间是

A．（0，1） B．（1，2 ） C．（2，3 ） D．（3，4）

4. 已知具有线性相关的两个变量
之间的一组数据如下：

0

1

2

3

4





2.2

4.3

4.5

4.8

6.7



 且回归方程是
的预测值为

A．8.4 B．8.3 C．8.2 D．8.1

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A. 48 B. 32

C.16 D.

6. 若
，则下列不等式成立的是

A．
B．

C．
D．

7. 函数
的图象大致是

8．在等腰
中，

，

则
的值为

A．
B．
C．
D．

9．下列说法正确的是

A．“
为真”是“
为真”的充分不必要条件

B．若数据
，…，
的方差为1，则
的方差为2

C．命题“存在
，
”的否定是“任意
，
”

D．在区间
上随机取一个数，则事件“
”发生的概率为

10. 定义域为的函数
满足

，当
时，

，若
时，
恒成立，

则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；

2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用中性笔答在答题卡指定的位置上．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．

11．已知圆经过
两点,圆心在轴上，则圆的方程为_______.

12．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是______.

13．正偶数列有一个有趣的现象：

①2+4=6； ②8+10 +12=14+16；

③18+20+22+24=26+28+30，…

按照这样的规律，则2016在第 个等式中．

14．设
,其中实数
满足
,若的最大值

为12,则实数
________.

15. 已知
是
的对称轴与准线的交点，点
是其焦点，点在该抛物线上，且满足
取得最大值时，点恰在以
为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为_______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数
．

(Ⅰ) 求函数
的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）已知
内角
的对边分别为
，且
，若向量
与
共线，求
的值．

17．（本小题满分12分）

某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R（单位：公里）分为3类，即A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：

类型

A

B

C



已行驶总里程不超过5万公里的车辆数

10

40

30



已行驶总里程超过5万公里的车辆数

20

20

20



 （Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；

（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．

（ⅰ）求n的值；

（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率．

18．（本小题满分12分）

如图，矩形
所在的平面和平面
互相垂直，等腰梯形
中，

∥
，
=2，
，
，
，分别为
，

的中点，
为底面
的重心.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求证：
∥平面
．

19．（本小题满分12分）

已知
是等差数列，公差为
，首项
，前项和为
.令
,
的前
项和
.数列
满足

，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，
，求的取值范围.

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，原点到过点
的直线的距离是
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线
与椭圆C有且只有一个公共点，过
作
的垂线与直线
交于点
，求证：点
在定直线上，并求出定直线的方程.

21．（本题满分14分）

已知函数
（为自然对数的底）.

（Ⅰ）设曲线
在
处的切线与点
距离为
，求的值；

（Ⅱ）若对于任意实数
恒成立，试确定的取值范围；

（Ⅲ）当
时，函数
在
上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．

数学（文）参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共50分）

ACBBB CAADD

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．
12．4 13． 14． 15．

三、解答题：16．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)

……………………………………………………3分

∴
的最小值为
，最小正周期为. ………………………………5分

（Ⅱ）∵
， 即

∵
，
，∴
，∴
． ……7分

∵
共线，∴
．

由正弦定理
， 得
①…………………………………9分

∵
，由余弦定理，得
， ②……………………10分

解方程组①②，得
． …………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为

． ………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）依题意
． ……………6分

（ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A，B，C；

5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M，N．

“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：

AB，AC ，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．

“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种：

AM，AN，BM，BN，CM，CN．

设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D，

则
．

答：选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为
．…………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）矩形
所在的平面和平面
互相垂直，且
,

∴
平面
，

又
平面
，所以
, -----2分

又
，
，
，由余弦定理知
，

∴
得
----------------------4分

∴
⊥平面
， -----------------5分

平面
；∴平面
平面
； ------------6分

（Ⅱ）连结
延长交
于
，则
为
的中点，又为
的中点，

∴
∥
，又∵
平面
，∴
∥平面
-------------------8分

连结
，则
∥
，
平面
，
∥平面
-----------------10分

∴平面
∥平面
， ----------------11分

平面
， 所以

． ------------12分

19．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)设等差数列的公差为
，因为

所以

则
，………………………………3分

则
，

解得
，

所以
． ……………………6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知

，

由


， ………………10分

因为
随着的增大而增大，所以
时，
最小值为

所以
．………………………………………………………………12分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）由于抛物线
的焦点坐标为
，所以
，

因此
， ……………………2分

因为原点到直线
：
的距离为
，

解得：
，……………………4分

所以椭圆的方程为
．……………………5分

（Ⅱ）由
，得方程
，（）……………6分

由直线与椭圆相切得
且
，

整理得：
，……………………8分

将
代入（）式得

，即
，解得
，

所以
，……………………10分

又
，所以
，所以
，

所以直线
方程为
，……………………11分

联立方程组
，得
，

所以点
在定直线
上．……………………13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
,
.

在
处的切线斜率为
， …………………