萧县中学高三数学试卷（理科数学）2015年9月

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1已知
，那么
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知
,则
=( )

A.
B.
C.
D.

3.下列命题中，真命题是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入
（万元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9



支出
（万元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8



根据上表可得回归直线方程
，其中
，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )

A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元

5.设
，二次函数
的图象可能是（ ）

A.
B.

C.
D.

6.《算数书》竹简是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长
与高
，计算其体积
的近似公式
它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率
近似取为3.那么近似公式
相当于将圆锥体积公式中的
近似取为（ ）

B.
C.
D.

7.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形

ABCD所在平面内任意一点，则
等于 （ ）

8.若函数
（ ）

A.
B.
C.
D.

9.执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的
（ ）

10.设
，
，
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的

边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）

A． 5 B．4 C．3 D． 2

12.定义在R上的函数
满足
，当
时，
函数
．若
，
，不等式
成立，则实数
的取值范围是(　 　)

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13.若
是偶函数，则
___________.

14.如图，正方形
的边长分别为
，原点
为
的中点，抛物线
经过
.

15.记不等式组
所表示的平面区域为
若直线
.

16.若函数
在其定义域内的一个子区间

(k－1，k＋1)内不单调，则实数k的取值范围是__________ .

三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分10分）

在数列{an}中，已知a
=-20，a
=a
＋4(n∈
)．

(1)求数列{an}的通项公式和前n项和An；

(2)若
(n∈
)，求数列{bn}的前n项Sn．

18.（本小题满分12分）

已知定义在
上的偶函数
满足：当
时，
，函数
，

（1）求函数
在
上的解析式：

（2）若对于任意
，都有
成立，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图，已知在直四棱柱
（侧棱垂直底面的棱柱）中，
，
，

．

（1）求证：
平面
.

（2）求
与平面
所成的角的的正弦值．

20.（本小题满分12分）

某站针对2015年中国好声音歌手
三人进行上网投票，结果如下

观众年龄

支持

支持

支持



20岁以下

200

400

800



20岁以上（含20岁）

100

100

400





（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取
人，其中有6人支持
，求
的值.

（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从7人中任意抽取3人，用随机变量
表示抽取出3人中支持
的人数，写出
的分布列并计算
.

21.(本小题满分12分)

定圆M：
，动圆N过点F
且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程；

（2）设点A，Ｂ，Ｃ在E上运动，A与B关于原点对称，且
，当
的面积最小时，求直线AB的方程．

22.（本小题满分12分）

已知函数

（1）若函数
在区间
上为增函数，求
的取值范围；

（2）当
且
时，不等式
在
上恒成立，求
的最大值。

数学试题答案

一.选择题

C A D B D B D B A D C C

填空题

解答题

17.（1）∵数列{an}满足a
=a
＋4(n∈
)，∴数列{an}是以公差为4，

以a
=-20为首项的等差数列．

故数列{an}的通项公式为a
=
(n∈
)，

数列{an}的前n项和A
=
(n∈
)；…………………（5分）

(2)∵
(n∈
)，∴数列{bn}的前n项Sn为

．…………（10分）

解：（1）设x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，结合函数f（x）是[﹣1，1]上的偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=﹣x+
，所以
．………（4分）

（2）对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，都有g（x2）＞f（x1）成立，则只需g（x）min≥f（x）max，又因为y=f（x），x∈[﹣1，1]是偶函数，所以f（x）的值域就是f（x）在[0，1]值域．

而当x∈[0，1]时，f（x）=x+2
，令t=
，

原函数化为y=﹣t2+2t+2=﹣（t﹣1）2+3，t∈[1，
]，显然t=1时f（x）max=3，

又因为g（x）min=﹣3a+5，则由题意得
，解得0
即为所求．……（12分）

19.解法一：

（1）设
是
的中点，连结
，则四边形

为正方形，

．故
，
，
，

，即
．

又
，

平面
， ……………………（5分）

（2）由（1）知
平面
，

又
平面
，
，

取
的中点
, 连结
，又
，

则
．

取
的中点
，连结
，则
,

.
平面
，

则过
向平面
引垂线,垂足必落在
上

为直线
与平面
所成的角……8分

连结
，在
中，
，
，

取
的中点
，连结
，
，

在
中，
，
，
． ………..（10分）

．

与平面
所成的角的的正弦值为
． ………..（12分）

解法二：

以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，

,
. ….. 2分

,
…..（3分）