绍兴一中2015学年第一学期回头考试卷

高三数学（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分100分, 考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

第Ⅰ卷（选择题部分 共24分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
，则“x+y=1”是“
”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

2．设
是两条不同直线，
是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）

（A）若

（B）若
，则

（C）若
，则

（D）若
，则

3．若数列
的前n项和
满足
，则
（ ）

（A）16 （B）
（C）8 （D）

4.已知
，
，则
=（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

6.已知两定点
，若动点P满足
，则点P的轨迹所包围的图形的面积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7．已知双曲线M：
和双曲线N：
，其中
，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得
，且
，则
∠BAC 的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题部分 共28分)

二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

9．设集合M={x|
}，N={x | x2 ≤ x}，则M∩N =

10. 已知
，则
=_________.

11．已知
,实数
满足约束条件
,若
的最小值为
,则
的值为

12．若实数x，y满足x+y=6，则f(x，y)=(x2+4)(y2+4)的最小值为

13．已知圆O的直径AB=2，C是该圆上异于A、B的一点，P是圆O所在平面上任一点，则
的最小值为 .

14．已知正方体
的棱长为1，点P是线段
上的动点，则四棱锥
的外接球的半径R的取值范围为是 ．

15．已知关于x的不等式
的解集为A，若A中恰有两个整数，则实数a的取值范围

为

三、解答题：本大题共5小题， 8+10+10+10+10=48分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．已知函数

在区间
上的最大值为
.

(Ⅰ)求常数
的值;

(Ⅱ)在
中,角
所对的边长分别为
,若
,
,
面积为
,求边长
的值.

17．如图，正方形
与等边三角形
所在的平面互相垂直，
分别是
的中点．　

（Ⅰ）证明：
∥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的正切值．

18. 已知函数
，其中
，
．

（Ⅰ）当
时，且
为奇函数，求
的表达式；

（Ⅱ）当
时，且
在
上单调递减，求
的值．

19. 已知椭圆C：
的长轴是短轴的两倍，点
在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为
、
、
，且
、
、
恰好构成等比数列.

（Ⅰ）求椭圆C的方程.

（Ⅱ）试探究
是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围.

20. 设
是等差数列
的前n项和，其中
，且
，

（Ⅰ）求常数
的值，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
，设数列
的前n项和为
，求最小的正整数
，使得对任意的
，都有
成立.

绍兴一中2015学年高三回头考试试题 数学（理）

参考答案

ABDA BBAA

9．
10. 4 11．
12．144 13．
14．
15．

16．解:(1)

----1分

因为
,所以

所以当
即
时,函数
在区间
上取到最大值

此时,
,得
-----------2分

(2)因为
,所以
,

即
,解得
(舍去)或
---------1分

由
得
.

因为
面积为
, 所以
,即
.-----②

由①和②解得
------------2分

所以
=7,从而
-----------2分

17．解：(Ⅰ)设CE中点为P，连接MP，PB，易知

所以
是平行四边形，所以MN∥PB，

因此MN∥平面
-----------4分

(Ⅱ)建立空间直接坐标系：AB为y轴，AD为z轴，平面ABE内过A点且与AB垂直的线为x轴。 不妨设AB=2，则
，
，-----------1分

设
是平面AMN的法向量

，

取
-----------2分

设AE中点为Q，AQ中点为R，易知
，
，
平面AEM

∵

，所以
，-----------2分

∴所求正切值为
-----------1分

18..解：（Ⅰ）因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，即
，结合a<0得a=-1

所以当x≥0时，
，-----------2分

所以当x<0时，
，所以b=1，-----------2分

综上：
-----------1分

（Ⅱ）因为f(x)在（-1,1）上单调递减，则有
-----------3分

解得
，所以
-----------2分

19.解：（Ⅰ）由题意可知
且

，a=2-----------2分

所以椭圆的方程为
-----------1分

（Ⅱ）设直线
的方程为
，

由

且
-----------2分

恰好构成等比数列.
=

即

因为
，


-----------2分

此时
，即

故
=
=
-----------2分

所以
是定值为5. -----------1分

20.解：（Ⅰ）由
及
得
，所以
---------------2分

，
------------------2分

（Ⅱ）
，用错位相减法求得
------------------2分

要使
，即
， --------------------1分

记
，则

即
单调递减， --------------------1分

又易得
故当
时，恒有
，-------------------1分

所以所求的最小正整数k为4. -----------------------1分

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