高三自主练习

数学(理科)

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第I卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知R是实数集，
，则

A.
B.
C.
D.

2. 等比数列
中，
，前三项和
，则公比q的值为

A.1 B.
C.
D.

3. 设平面
与平面
相交于直线m，直线a在平面
内，直线b在平面
内，且
，则“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.二项式
的展开式的第二项的系数为

A.
B.
C.
D.

5.已知圆C的圆心与双曲线
的左焦点重合，又直线
与圆C相切，则圆C的标准方程为

A.
B.

C.
D.

6.函数
的部分图象如图所示，则
的值分别为

A.
B.
C.
D.

7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为

A.
B.

C.
D.

8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为4，10，则输出的a为

A.0 B.2

C.4 D.6

9.已知抛物线
的准线方程为
，函数
的周期为4，则抛物线与函数
在第一象限所围成的封闭图形的面积为

A.
B.1 C.
D.

10.若函数
上存在点
满足约束条件
则实数m的最大值为

A.
B.1 C.
D.2

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.设复数
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
，i为虚数单位.则
__________.

12.若存在实数x，使
成立，则实数a的取值范围是__________.

13.在
中，
，设点P，Q满足
,
,则
________.

14.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角
，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是_________.

15.定义在R上的函数
，如果存在函数
（
为常数），使得
对一切实数x都成立，则称
为函数
的一个承托函数.现有如下函数：

①
；②
；③
；④
.

则存在承托函数的
的序号为________.（填入满足题意的所有序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

在
中，角A,B,C所对边分别为
，已知
.

（I）若
，当
周长取最大值时，求
的面积；

（II）设
的取值范围.

17. （本小题满分12分）

2015年9月12日青岛2015世界休闲体育大会隆重开幕.为普及体育知识，某校学生社团组织了14人进行“体育知识竞赛”活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见右表：

根据表格信息解答以下问题：

（I）从14人中任选3人，求3人答对题目个数之和为6的概率；

（II）从14人中任选2人，用X表示这2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列和数学期望EX.

18. （本小题满分12分）

在四棱锥
中，
平面ABCD，
是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，
，点N在线段PB上，且
.

（I）求证：
；

（II）求证：MN//平面PDC；

（III）求二面角
的余弦值.

19. （本小题满分12分）

已知数列
满足
，且
.

（1）求数列
的通项公式；

（II）设数列
的前n项和为
，若数列
满足
，求
；

（III）设
，是否存在常数c，使
为等差数列，请说明理由.

20. （本小题满分13分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为
，P为椭圆C上任意一点，且
最小值为0.

（I）求曲线C的方程；

（II）若动直线
均与椭圆C相切，且
，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到
的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.

21. （本小题满分14分）

设函数
，n为大于零的常数.

（I）求
的单调区间；

（II）若
，求函数
的极值点；

（III）观察
的单调性及最值，证明：
.



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