江西师大附中2016届高三第三次模拟考试

数学（文）试题

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，则
（ C ）

A．
B．
C．
D．

2．定义运算
，若
，则复数
对应的点在（ B ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知
，“函数
有零点”是“函数
在
上为减函数”的（ B ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（ C ）

A．
B．
C．
D．

5．在
中，设
，
，且
，则
（ C ）

A．
B．
C．
D．

6．已知函数
，则下列结论错误的是（ D ）

A．函数
的最小正周期为

B．函数
在区间
上是增函数

C．函数
的图象可由
的图象向右平移
个单位得到

D．函数
的图象关于直线
对称

7．以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②若数据
的方差为
，则
的方差为
；

③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；

④对分类变量
与
的随机变量
的观测值
来说，
越小，判断“
与
有关”的把握越大．

其中真命题的个数为（ A ）

A．
B．
C．
D．

8．如图所示的程序框图中，若
，
，
，且
恒成立，则
的最大值是（ B ）

A．
B．
C．
D．

9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是
，
，
，
，画该四面体三视图中的正视图时，以
平面为投影面，则得到正视图可以为（ A ）



A B C D

10．若实数
满足约束条件
则
的最小值为（ D ）

A．
B．
C．
D．

11．已知定义在
上的函数
满足
，
，且当
，
，则
（ D ）

A．
B．
C．
D．

12．已知偶函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
．当
时，
恒成立．设
，记
，
，
，则
的大小关系为（ A ）

A．
B．
C．
D．

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题～第（24）题未选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，将答案填在答题纸上

13．如图，直线
是曲线
在
处的切线，则
的值为 ．

【命题意图】本题考查导数的几何意义和直线的斜率计算公式。

【解析】如图可知
，
的几何意义是表示在
处切线的斜率，故
，故
。

14．已知等差数列
的前
项和为
，若
是方程
的两根，则
．

【命题意图】本题意在考查等差数列的性质及求和公式。

【解析】因为
是方程
的两根，所以
，从而
，

。

15．在平面直角坐标
中，已知点
，若满足条件
，则动点
的轨迹方程为 ．

【命题意图】本题考查曲线与方程，两点间距离公式。

【答案】

【解析】设点
，则由条件得
，

化简得
。

16．已知椭圆
的离心率
，
是椭圆的左、右顶点，
是椭圆上不同于
的一点，直线
斜倾角分别为
，则
的最小值为 ．

【命题意图】本题考查椭圆的方程和性质，均值不等式。

【解析】设
，椭圆顶点
,
，

，
，

又
，所以
，

所以
，即

三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）如图，
是直角
斜边
上一点，
．

（Ⅰ）若
，求角
的大小；

（Ⅱ）若
，且
，求
的长．

【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，意在考查运算能力及分析问题、解决问题的能力．

【解析】（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有
.

因为
，所以
………………3分

又
，所以

于是
，所以
………………6分

（Ⅱ）设
，则
，
，

于是
，
，
………………9分

在
中，由余弦定理，得
，

即
，得

故
………………12分

18．（本小题满分12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段
，
，
，
，
，
进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．

（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；

（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在
和
的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在
的概率；

【命题意图】本题考查频率分布折线图、古典概型、用样本估计总体，意在考查识图能力、数据处理能力、逻辑分析能力、数学运算能力．

【解析】（Ⅰ）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人……2分

所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为
人……5分

（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在
”为事件
，

记体育成绩在
的学生为
，体育成绩在
的学生为
，

则从这两组学生中随机抽取2人，所有可能的结果如下：

共10种 ………………………………………………9分

而事件
所包含的结果有

共7种，因此事件
发生的概率为
………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）如图，三棱柱
中，
平面
，
，点
分别为
的中点．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）设平面
与平面
的交线为
，求证：
．

【命题意图】本题以直三棱柱为几何背景，考查空间两条直线的位置关系、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

【解析】（Ⅰ）因为
平面
，
平面
，所以
…………2分

又因为
，
，
平面
，
平面
，

所以
平面
………………………………4分

又
平面
，所以平面
平面
………………………………6分

（Ⅱ）法一：连接
，在
中，点
、

分别为
、
的中点，所以
………………………………8分

又
平面
，
平面
，

所以
平面
………………………………10分

又因为
平面
，平面
平面

，

所以
………………………………12分

法二：取
的中点
，连接
、
．

在
中，点
、
分别为
、
的中点，

所以
………………………………7分

又因为
平面
，
平面
，

所以