甘肃省兰州第一中学2016届高三冲刺模拟题

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，

考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知
为虚数单位，
，若
为纯虚数，则复数
的模等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 若全集U=R集合
为（ ）

A．
B．

C．
D．

3. 已知数列{an}满足1＋
＝
(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则

(a5＋a7＋a9)的值是(　　)

A．
B．
C．5 D．－5

4．设a为函数
的最大值，则二项式
的展开式中含
项的系数是（ ）

A．192 B．－192 C．182 D．－182

5. 阅读如图所示的程序框图，则输出的
的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的侧视图的面积不可能等于(　　)

A．
B．
C．
D．

7. 已知
若
(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则t－a＝(　　)

A．31　　　　　　B．41 C．55　　　　　　　　D．71

8. 如图，四边形
是边长为1的正方形，延长
至
，使得
．动点
从点
出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到
点，
．

下列三个命题：

①当点
与
重合时，
；

②
的最小值为0，
的最大值为3；

③在满足
的动点
中任取两个不同的点
和
，则
或

其中正确命题的个数为（ ）

A． 0 B．1 C．2 D．3

9. 如图，已知直线
与单位圆交于A，B两点，劣弧AB所对的圆心角为
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 已知三棱锥
的顶点都在球
的球面上,
,平面

平面

, 则球
的表面积是( )

A．
B．
C．
D．

11. 设
、
是双曲线
的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点
，使
（
为坐标原点），且
，则双曲线的离心率为 ( )

A．
B．
C．
D．

12. 若函数
的图象在
处的切线与圆
相切，则
的最大值是（ ）

A．4 B．
C．2 D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数
则
．

14. 已知实数
，且点
在不等式组
表示的平面区域内，则
的取值范围为 ．

15. 已知数列{an}的通项公式为

，其前n项和为Sn，则在数列S1、S2、…、S2 016中，有理数项的项数为 ．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，
分别为椭圆
的左、右焦点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线
与椭圆的另一个交点为D．若
,则直线CD的斜率为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)

已知函数
，
，将函数
向左平移
个单位后得函数
，设
三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．

（Ⅰ）若
，
，
，求a、b的值；

（Ⅱ）若
且
，
，求
的取值范围．

18．（本小题满分12分）

某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：

得分

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]



甲

5

10

34

11



乙

8

12

31

9



（Ⅰ）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；

（Ⅱ）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元.在（Ⅰ）的前提下：

（1）记
为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量
的分布列和数学期望；

（2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率．

19．(本小题满分12分)

已知四边形
满足
∥
，
，是
的中点，将
沿着
翻折成
，使面
面
，为
的中点.

（Ⅰ）求四棱
的体积；

（Ⅱ）证明：
∥面
；

（Ⅲ）求面
与面
所成二面角的余弦值．

20. (本小题满分12分)

已知抛物线
：
和点
，若抛物线
上存在不同两点
、
满足
．

（Ⅰ）求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，抛物线
上是否存在异于
、
的点
，使得经过
、
、
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线，若存在，求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．

21. (本小题满分12分)

已知函数

（Ⅰ）求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
单调区间；

（Ⅲ）若存在
，使得
（
是自然对数的底数），求实数
的取值范围．

选考题:（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分; 做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.）

22．（本小题满分10分）选讲4-1：几何证明选讲

如图，AB是

的一条切线，切点为B，直线ADE，

CFD，CGE都是

的割线，已知AC=AB.

（Ⅰ）求证：FG//AC；

（Ⅱ）若CG=1，CD=4，求
的值.

23（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴)中，圆
的方程为

（Ⅰ）求直线
及圆
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆
与直线
交于点
.若点
的坐标为(3，)，求
.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

（Ⅰ）求不等式
的解集;

（Ⅱ）已知
，求证：
．

兰州一中2016届高三冲刺模拟题参考答案（理科）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

D

B

C

C

B

D

B

D

A

D



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
14．
15．43 16．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. (本小题满分12分) 已知函数
，
，将函数
向左平移
个单位后得函数
，设
三个角、、
的对边分别为、
、.

（Ⅰ）若
，
，
，求、
的值；

（Ⅱ）若
且
，
，求
的取值范围.

解：（Ⅰ）

…………………………………………2分

,所以

因为
,所以
所以
…………………4分

由余弦定理知：
，因
,

所以由正弦定理知：

解得：
…………………………………………6分

（Ⅱ）
所以
,所以

因为
,所以
即

，

于是
…8分

,得
……………………………10分

∴
，即
………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测。检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂。现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：

得分

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]



甲

5

10

34

11



乙

8

12

31

9



（Ⅰ）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；

（Ⅱ）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元.在（Ⅰ）的前提下：

（1）记
为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量
的分布列和数学期望；

（2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率.

解析：（Ⅰ）甲为合格品的概率约为：
,

乙为合格品的概率约为：
; ……………2分

（Ⅱ）（1）随机变量
的所有取值为190，85，70，-35，而且

,
,

,
;

所以随机变量
的分布列为：

190

85

70

－35















…………6分

所以：
……………8分

（2）设生产的