2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测

文科数学能力测试　2016.5

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分

考生注意：

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用
毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

集合
,
，则
（A）
（B）
（C）
（D）

复数
满足
，则
（A）
（B）1 （C）
（D）2

已知条件
，条件
，则
是
成立的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件

函数
（
）在
处取得最小值，则（A）
是偶函数 （B）
是奇函数（C）
是偶函数 （D）
是奇函数

从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：
），所得数据如下茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为
，标准差分别为
，则（A）
（B）
（C）
（D）

函数
的零点个数为（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

在
中，
，点
满足

，则
（A）1 （B）
（C）
（D）2

在各项均为正数的等比数列
中，
，则数列
的前10项和等于（A）20 （B）10（C）5 （D）

执行右面的程序框图，若输入的
值为4，则输出的结果为（A）8

（B）21（C）34

（D）55

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（A）10

（B）20

（C）30

（D）60

过双曲线
的左焦点
作一条渐近线的垂线，与
右支交于点
，若
，则
的离心率为（A）
（B）2 （C）
（D）5

已知
，函数
的导函数
在
内有最小值．若函数
，则（A）
在
上有最大值 （B）
在
上有最小值（C）
在
上为减函数 （D）
在
上为增函数

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

在平面直角坐标系
中，点
在抛物线
的准线上，则实数
　　　．

若
满足约束条件
则
的最大值等于　　　　．

已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为
，则该球的表面积为　　　　．

如图，在
中，
，
为
边上一点．若
，则
的周长的取值范围为　　　　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，

．（Ⅰ）求证：数列
是等差数列；（Ⅱ）求
．

（本小题满分12分）

某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如下：

男性观众 女性观众

（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？

喜欢节目A

不喜欢节目A

总计



男性观众









女性观众









总计





60



（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．


．

（本小题满分12分）如图所示，四棱锥
的底面是梯形，且
平面
，
是
中点，
．（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）若
，求三棱锥
的高．

（本小题满分12分）已知椭圆
（
）的焦距为
，直线
（
）经过
的长轴的一个四等分点，且与
交于
两点．（Ⅰ）求
的方程；（Ⅱ）记线段
为直径的圆为
，判断点
与
的位置关系，说明理由．

（本小题满分12分）已知
，函数
的图象与
轴相切．（Ⅰ）求
的单调区间；（Ⅱ）若
时，
，求实数
的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，
内接于圆O，
是
的中点，∠
的平分线分别交
和圆
于点
,
．（Ⅰ）求证：
是
外接圆的切线；（Ⅱ）若
,
，求
的值．

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）．以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出
的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线
经伸缩变换
后得到曲线
，曲线
（
）分别与
和
交于
,
两点，求
．

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式
的解集为
．（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）设关于
的方程
（
）有实数根，求实数
的值．

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文科数学试题答案及评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）C （2）B （3）C （4）A （5）A （6）B

（7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）D

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

（13）
（14）
（15）
（16）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）本小题主要考查
与
的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

（Ⅰ）证明：因为当
时，
，

所以
． 1分

所以
, 2分

因为
所以
，所以
， 3分

所以
． 4分

所以
是以
为首项，以1为公差的等差数列． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，

所以
. 8分

所以
． 10分

所以
11分

． 12分

（18）本小题主要考查等高条形图、独立性检验、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．

解：（Ⅰ）由题意得
列联表如下：

喜欢节目A

不喜欢节目A

总计



男性观众

24

6

30



女性观众

15

15

30



总计

39

21

60



 3分

假设
喜欢娱乐节目A与观众性别无关，

则
的观测值
， 5分

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关．

6分

（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为
，不喜欢节目A的人数为
． 7分

被抽取的喜欢娱乐节目A的4名分别记为
；不喜欢节目A的1名记为
．

则从5名中任选2人的所有可能的结果为：

，共有10种． 9分

其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的有
，共4种． 10分

所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是：
． 12分

（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

（Ⅰ）证明：取
的中点
，连结
，如图所示．

因为点
是
中点，

所以
且
． 1分

又因为
且
，

所以
且
， 2分

所以四边形
为平行四边形，

所以
， 3分

因为
平面
，
平面
，

所以
． 4分

所以
． 5分

（Ⅱ）解：设点
为
的中点，连结
，如图所示，

因为
，

由（Ⅰ）知，