2016届漳州八校第三次联考高三数学（理）试卷

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选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1、已知i是虚数单位，复数z满足
=i，则z的模是（　　）

1 B．
C．
D．

2、 集合
，
，则

A、
B、
C、
D、

3、已知命题
：有的三角形是等边三角形，则( )

A.
：有的三角形不是等边三角形 B.
：有的三角形是不等边三角形

C.
：所有的三角形都是等边三角形 D.
：所有的三角形都不是等边三角形

4、一个边长为3 cm的正方形薄木板的正中央挖去一个直径为2 cm的圆孔，一质点在木板的面内随机地移动，则该质点恰在离四个顶点的距离都大于2 cm的区域的概率为(　　)

A. B. C. D.

5、执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）

A 16 B 25 C 36 D 49



6、设
分别是双曲线
的左.右焦点，若双曲线上存在点
，使
，且
,则双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

7、 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）

A.1升 B.
升 C.
升 D.
升

8、设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）
的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（　　）

A f（x）在
单调递减 B f（x）在（
，
）单调递减

C f（x）在（0，
）单调递增 D f（x）在（
，
）单调递增

9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

（A）
（B）

（C）4 （D）3

10、
的展开式中
项的系数为（ ）

A 45　　　　B 72　　　　C 60　　　　D 120

11、在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c>b>a，若向量
＝（a－b，1）和
＝（b－c，1）平行，且sin B＝
，当△ABC的面积为
时，则b＝（ ）

A．
B．4 C． 2 D．2＋

12、已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当
时，
若
则实数a的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

填空题：本大题共4小题，每小题5分

13、化简
的值为___________

14、设变量x，y满足约束条件
，则目标函数
的最大值为 .

15、已知球
的一个内接三棱锥
，其中
是边长为
的正三角形，
为球
的直径，且
，则此三棱锥的体积为__________

16、已知两个正数a，b，可按规律c＝ab＋a＋b推广为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p>q>0，经过五次操作后扩充得到的数为(q＋1)m(p＋1)n－1(m，n为正整数)，则m＋n＝________．

三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17、设数列
的前
项和为
，已知

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，求数列
的前
项和
.

18、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．

19、一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：

学生













语文（
分）

87

90

91

92

95



英语（
分）

86

89

89

92

94





（1） 根据表中数据，求英语分
对语文分
的线性回归方程；

（2） 要从4名语文成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以
表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量
的分布列及数学期望

（附:线性回归方程
中，
其中
为样本平均值，
的值的结果保留二位小数.）

20、已知抛物线
的顶点是椭圆
的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合

（1）求抛物线
的方程

（2）已知动直线
过点
，交抛物线
于
两点，坐标原点O为
中点，求证
；

（3）是否存在垂直于x轴的直线m被以
为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由。

21、已知函数
．

（1）当
时，判断方程
在区间
上有无实根；

（2）若
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

22、选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D.

(1)求证：AT2＝BT·AD；

(2)E、F是BC的三等分点，且DE＝DF，求∠A.

23、选修4-4：极坐标与参数方程

已知曲线
，曲线

（1）写出曲线
的参数方程与曲线
的普通方程；

（2）设
为曲线
上的动点，求点
到
上点的距离的最大值，并求此时点
的坐标．

24、选修4—5；不等式选讲．

已知函数
.

(Ⅰ)当a = 3时,求不等式
的解集;

(Ⅱ)若
对
恒成立,求实数a的取值范围.

八校第三次联考高三数学（理）试卷参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

D

D

C

B

B

A

B

B

C

D



填空题

13.
14.
15.
16. 13

三、解答题

17、【解析】（1）由
可得
，

而
，则

（2）由
及
可得

.

∴

18、【解析】（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，

所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，

又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，

所以BD⊥平面AED；

（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，

又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，

不妨设CB=1，则C（0，0，0），B（0，1，0），D（
，﹣
，0），F（0，0，1），因此
=（
，﹣
，0），
=（0，﹣1，1）

设平面BDF的一个法向量为
=（x，y，z），则
?
=0，
?
=0

所以x=
y=
z，取z=1，则
=（
，1，1），

由于
=（0，0，1）是平面BDC的一个法向量，

则cos＜
，
＞=
=
=
，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为

解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG?平面FCG．

所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，

在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，

因此CG=
CB，又CB=CF，

所以GF=
=
CG，

故cos∠FGC=
，

所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为

19、【解析】(1)

∴回归直线方程为

(2)随机变量
的可能取值为0,1,2.

∴

故
的分布列为

0

1

2















20、【解析】（1）抛物线的焦点为
，
。所以抛物线的方程为

（2）设
由于O为PQ中点，则Q点坐标为（-4,0）

当
垂直于x轴时，由抛物线的对称性知

当
不垂直于x轴时，设
由

∴

(3) 设存在直线m：
满足题意，则圆心
，过M作直线x=a的垂线，垂足为E。设直线m与圆的一个交点为G，则
.即

当a=3时，

此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值
。因此存在直线m：x=3满足题意。

21、【解析】（1）
时，令
，
．

∴
在
上为增函数．

又
，所以
在
上无实根．

（2）
恒成立，即
恒成立，

又
，则当
时，
恒成立，

令
，只需
小于
的最小值，
，

∵
，∴
．∴当
时
，∴
在
上单调递减，∴
在
的最小值为
．则
的取值范围是
．

22、【解析】（1）证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，∴∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.

又∵AT 2＝AB(AD，所以AT 2＝BT(AD

（2）取BC中点M，连接DM，TM．

由（1）知TC＝TB，所以TM⊥BC．

∵DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．

∴O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．

∴∠ABT＝∠DBT＝90(. ∴∠A＝∠ATB＝45(.

23、【解析】 （1）曲线C1的参数方程：

曲线C2的普通方程：

（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点
到直线

的距离为

∴当
时，d的最大值为
，

此时点P的坐标为
．

24、【解析】(Ⅰ)
时,即求解

①当
时,
②当
时,

③当
时,

综上,解集为

(Ⅱ)即
恒成立 令

则函数图象为

,

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