云南省师大附中2017届高三适应性月考（一）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知复数
在复平面内对应的点为
，则复数
的模为（ ）

A．
B．
C．
D．2

3.已知
，
，
，则
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.圆
截直线
所得弦的长度为2，则实数
（ ）

A．4 B．-2 C．-4 D．2

5.某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的
的值是（ ）

A．3024 B．1007 C．2015 D．2016

6.给出下列四个结论：

①已知直线
，
，则
的充要条件为
；

②函数
满足
，则函数
的一个对称中心为
；

③已知平面
和两条不同的直线
，满足
，
，则
；

④函数
的单调区间为
.

其中正确命题的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．0

7.已知
，
，且
，则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8.四面体
的四个顶点都在球
的球面上，
，
，
，平面
平面
，则球
的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.若
满足条件
，当且仅当
时，
取得最大值，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.椭圆
上一点
关于原点的对称点为
，
为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆离心率的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．1

12.已知曲线
与
恰好存在两条公切线，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设
，则二项式
的展开式的常数项是 .

14.
是定义在
上的函数，且满足
，当
时，
，则
.

15.已知曲线
（
且
）与直线
相交于
两点，且
（
为原点），则
的值为 .

16.已知
为数列
的前
项和，
，若存在唯一的正整数
使得不等式
成立，则实数
的取值范围为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

已知
是斜三角形，内角
所对的边分别为
，且
.

（1）求角
；

（2）若
，
，求
的面积.

18. （本小题满分12分）

2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4.

（1）先求出
的值，再将如图3所示的频率分布直方图绘制完整；

（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？

参考数据：

参考公式：
，其中
.

（3）从这100名网购者中根据购物金额分层抽出20人给予返券奖励，为进一步激发购物热情，在
和
两组所抽出的8人中再随机抽取2人各奖励1000元现金，求
组获得现金将的数学期望.

19. （本小题满分12分）

如图4，已知四棱锥
中，底面
为菱形，
平面
，
，
分别是
的中点.

（1）证明：
平面
；

（2）取
，若
为
上的动点，
与平面
所成最大角的正切值为
，求二面角
的余弦值.

20. （本小题满分12分）

已知
为坐标原点，抛物线
在第一象限内的点
到焦点的距离为
，
在点
处的切线交
轴于点
，直线
经过点
且垂直于
轴.

（1）求线段
的长；

（2）设不经过点
和
的动直线
交
交点
和
，交
于点
，若直线
的斜率依次成等差数列，试问：
是否过定点？请说明理由.

21. （本小题满分12分）

函数
，
.

（1）若
在点
处的切线方程为
，求
的表达式；

（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设
，对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点
，使得
是以
（
为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？请说明理由.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆
的半径
垂直于直径
，
为
上一点，
的延长线交圆
于点
，过点
的切线交
的延长线于点
，连接
.

（1）求证：
；

（2）若
，
，求
的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知曲线
，将曲线
上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线
，又已知直线
（
是参数），且直线
与曲线
交于
，
两点.

（1）求曲线
的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；

（2）设定点
，求
.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（1）求不等式
的解集
；

（2）设
，证明：
.

云南师大附中2017届高考适应性月考卷（一）

理科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

C

A

D

D

A

C

B

A

B



【解析】

1．
，
，
，故选A．

2．
，则
，模为
，故选B．

3．设
与
的夹角为
，则
，
，又
，

∴
，故选D．

4．圆的标准方程为(x+2)2+(y?1)2=5?a，r2=5?a，则圆心(?2，1)到直线x+y+5=0的距离为
，由12+(2
)2=5?a，得a=?4，故选C．

5．该程序框图表示的是通项为
的数列前2016项和，