大庆一中高三下学期第三次模拟考试

数学试卷（理科）

一．选择题

1.已知全集
，则集合
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.复数
的共轭复数是( )

A．
B．
C．
D．

3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( 　　)

A．2　　　 　B．3

C．4 D．5

【来源：全,品…中&高*考+网】已知
（ ）

B.-
C.
D.-

“双曲线
的渐近线为
”是“双曲线
的离心率为
”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.下列说法中正确的是：

A.若命题
则

B.命题“若圆
与两坐标轴都有公共点，则实数

”的逆否命题为真命题

C.已知相关变量
满足回归方程
，若变量
增加一个单位，则
平均增加3个单位

D.已知随机变量
，若
，则

7.已知实数
满足不等式组
，则
的最小值为（ ）

A、
B、 5 C、 4 D、无最小值

8.已知正三棱锥
的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是（ ）

A、
B、
C、
D

9.奇函数
的定义域为
，若
为偶函数，且
（ ）

A.-2 B.-1 C.0 D.1

10.已知
为平面直角坐标系中第一象限的两点，
，
为坐标原点，若
在
方向上的投影相同，则
的最大值为（ ）

B.3 C.
D.6

11.已知
是抛物线
的焦点，点
，
在该抛物线上且位于
轴的两侧，
（其中
为坐标原点），则
与
面积之和的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
，若关于
的方程
有唯一解，则下列说法中正确的是（ ）

A.
B.函数
的图象在点（
）处的切线的斜率为

C.函数
在
上单调递减 D.函数
在
上的最大值为

二．填空题

13.某几何体是由大小相同的正方体木块堆成的，其正视图、侧视图均如右图所示，则此几何体最少由_________块木块堆成．

若
的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为__________

设函数
在其图象上任意一点
处的切线方程为
且
，则不等式
的解集为________

16.设三角形
的内角
的对边分别是
，若
的面积为2，
边上的中线长为
，且
，则
中最长的边的边长为_________

三．解答题

17.（本小题满分12分）已知数列
的前
项和
,数列
满足

（1）求证：数列
是等差数列

（2）设
，数列
的前
项和为
，求满足
的
的最大值。

18.（本小题满分12分）某数学兴趣小组有男生30人，女生20人，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）

（Ⅰ）根据以上数据计算并判断，能否有97.5%的把握认为“爱好几何”与性别有关？

（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．

（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记A,B两女生中被抽到的人数为
，求
的分布列及数学期望

附表及公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



（参考公式：
，其中
）

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点
为棱
的中点.

（Ⅰ）证明
;

（Ⅱ）若
为棱
上一点，满足
，

求二面角
的余弦值.

（本小题满分12分）已知圆
：
，点
，
是圆
上任意一点，线段
的垂直平分线和半径
相交于点

求动点
的轨迹
的方程

过点
作两条互相垂直的直线
，若
分别与轨迹
相交于点
，直线
轴交于点
,过点
作直线
交轨迹
于
两点，求
面积的最大值。

（本小题满分12分）已知函数

讨论函数
的单调性

若存在
，使得对任意的
，不等式
（其中
为自然对数的底数）都成立，求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22. （本题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

如图所示,已知圆
外有一点
,作圆
的切线
,
为切点,过
的中点
,作割线
,交圆于
、
两点,连接
并延长,交圆
于点
,连接
交圆
于点
,若
．



（1）求证：△
∽△
；

（2）求证：四边形
是平行四边形．

23. （本题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中,曲线
：
（
为参数,实数
）,曲线
：
（
为参数,实数
）.在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
与
交于
两点,与
交于
两点.当
时,
；当
时,
.

（1）求
的值；

（2）求
的最大值.

24. （本题满分10分）选修4—5；不等式选讲

已知函数
,且
的解集
满足
．

（1）求实数
的取值范围B；

（2）若
,
为B中的最小元素且
,求证：
.

大庆一中高三下学期第三次模拟考试

数学答案（理科）

选择题 DCCBD BCBDC BD

填空题5; 84;
;

解答题

18.(Ⅰ)由表中数据得
的观测值

所以根据统计有
的把握认为“爱好几何”与性别有关.）

(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
分钟，则基本事件满足的区域为
(如图所示)

设事件
为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为

由几何概型
即乙比甲先解答完的概率为
.

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有
种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有
种；恰有一人被抽到有
种；两人都被抽到有