大庆市实验中学2016年高三得分训练（一）

数学试题（理科）

说明：本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求.

1. 设全集
，集合
，
，则(　　)

(A)
(B)
(C)
(D)

2.设
为虚数单位，则复数
(　　)

(A)
(B)
(C)
(D)

3.在
中，角
所对边分别为
，且
，
，面积
，则
等于(　　)(A)
(B)
(C)
(D)

4. 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有(　　)

(A)36种 (B)30种 (C)24种 (D)6种

5. 已知
为互不重合的三个平面，命题
若
，
，则
∥
；命题
若
上不共线的三点到
的距离相等，则
∥
.对以上两个命题，下列结论中正确的是(　　)

(A)命题“
”为真 (B)命题“
”为假

(C)命题“
”为假 (D)命题“
”为真

6. 如果实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为(　　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

7. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是(　　)

(A). (B) (C). (D).

8.把边长为
的正方形
沿对角线
折起，形成的三棱锥
的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(　　)(A)
(B)
(C)
(D)

9. 如图，在由x＝0，y＝0，x＝
及y＝
围成区

域内任取一点，则该点落在x＝0，y＝sinx及y＝cosx围成的区

域内（阴影部分）的概率为( )(A)1－
(B)
－1 (C)
　(D)3－2

10. 设
是圆
上不同的三个点，且
，若存在实数
使得
，则实数
的关系为(　　)

(A)
(B)
(C)
(D)

11.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则an＝(　　)

(A). (B). (C). (D).

12.定义区间
的长度为
（
），函数
的定义域与值域都是
，则区间
取最大长度时实数
的值为（ ）

(A)
(B)-3 (C)1 (D)3

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题: : 本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是________．

14.已知向量
，
，若

∥
，则
的最小值________．

15.双曲线
的左、右焦点分

别为
、
，过
的直线
与双曲线的左、右两支分别

交于
、
两点.若
为等边三角形，则该双曲线的离

心率为________．

16．在正项等比数列
中，
，
，则满足

的最大正整数
的值为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）在△ABC中，
所对的边分别为
,

（1）求角C的大小； （2）若b＝4，△ABC的面积为6，求边c的值．

18. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率;（2）设
是此人停留期间空气重度污染的天数，求
的分布列与数学期望．

19．（本题满分12分）如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
，
，
底面
.（1）证明：
；

（2）若
，求二面角
的余弦值．

20（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系
中， 已知圆

，椭圆

，
为椭圆右顶点．过原点
且异于坐标轴的直线与椭圆
交于
两点，直线
与圆
的另一交点为
，直线
与圆
的另一交点为
，其中
．设直线
的斜率分别为
．（1）求
的值；（2）记直线
的斜率分别为
，是否存在常数
，使得
？若存在，求
值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线
必过点
．

21． （本题满分12分）已知函数

（1）当
且
时，证明：
；（2）若对
，
恒成立，求实数
的取值范围；（3）当
时，证明：
．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P。

（1）求证：PM2=PA·PC （2）若⊙O的半径为
，OA=
OM求：MN的长

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
它与曲线C：
交于A、B两点。（1）求|AB|的长（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为
，求点P到线段AB中点M的距离。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
（1）当a=4时，求不等式
的解集(Ⅱ)若
对
恒成立，求实数
的取值范围．

答案:

一、选择：　AABBC BCDBA AD　　　　二、填空：12

12

17.解：（1）
，

，

，
，

（2）因为
，
,

所以
，∵
∴
。

18.解：设
表示事件“此人于2月
日到达该市”（
=1,2，…，12）.

依题意知,
,且
.---------------------------------------2分

（1）设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则
,

所以

.

即此人到达当日空气质量重度污染的概率为
.--------------------------------------5分

(2)由题意可知，
的所有可能取值为0,1,2，3且------------------------------------6分

P(
=0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=
,-------------------7分

P(
=2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =
,-------------------------------8分

P(
=3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) =
,-------------------------------9分

P(
=1)=1－P(
=0)－P(
=2)－P(
=3)=
,--------------10分

(或P(
=1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=
)

0

1

2

3



P











所以
的分布列为：

-----------------------------------------------------------------11分

故
的期望
．-------------------------------12分

19解：（1）证明：因为
，
，

由余弦定理得
. .............（2分）

从而
，故
. .............（3分）

面
面
，
............（4分）

又

所以
平面
. .............（5分）

故
. .............（6分）

（2）如图，以D为坐标原点，射线DA，DB，DP分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz， 则
．

，
.........（8分）

设平面PAB的法向量为
，

则

即

因此可取
． .............（10分）

设平面PBC的法向量为
，则
,

可取
...............（12分）

则

故钝二面角A－PB－C的余弦值为－. ...............（14分）

20解：（1）设
，则
，

所以
． …………4分

（2）联立
得
，

解得
，

联立
得
，

解得
， …………8分

所以
，
，

所以
，故存在常数
，使得
． …………10分

（3）当直线
与
轴垂直时，
，

则
，所以直线
必过点
．

当直线
与
轴不垂直时，直线
方程为：
，

联立
，解得
，

所以
，故直线
必过点
． …………16 分

（不考虑直线
与
轴垂直情形扣1分）

21.（1）证明：要证
，即证
，--------------------1分

令
则
------------3分

∴
在
单调递增，
，

，即
成立．----------------------4分

（2）解法一：由
且
可得
---------------------------------------5分

令
---------------------------------------------------------6分

由（1）知
-----------------------------------8分

函数
在
单调递增，当
时，

．----------------------------------------------------------9分

【解法二：令
，则
，--------------