2016年大庆实验中学

文科数学仿真模拟试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．命题“
”的否定（ ）

A．
B．

C．
D．

3．如右图，向量
对应的复数是
，向量
对应的复数是
，

则
的共轭复数为（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 已知平面向量
，
，若
与
垂直，则实数
值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走
里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了
天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）

A．
里 B．
里 C．
里 D．
里

6．如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为 ( )

A．
B．
C．
D．

7. 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则
的值是（ ）

A．10 B.
C.12 D.13

8. 已知函数
是定义在
上的偶函数,当
时,
为减函数,若学]
,
,
,则
,
,
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
是边长为
的正三角形，
为球
的直径，且
,则此棱锥的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知
，且
，函数
的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．函数
存在与直线
平行的切线，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 已知双曲线

（
，
）的左右焦点分别为
，
为双曲线上横坐标均为正数的两点，且
.若在
中，
，
，则双曲线
的离心率的平方的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）

13．抛物线
的焦点坐标为 .

14．已知
满足约束条件
，则
的最大值是 .[:]

15.在
中，
,垂足为
,
在
的内部，且
,则
.

16．已知
，若
恒成立，则
的取值范围为 .

三、解答题( 本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分12分)

数列
满足
,
．

（Ⅰ）求证数列
是等比数列；

（Ⅱ）记
为数列
的前
项和，求
.

18.(本小题满分12分)

某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其

成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为
，
，…，
）.

（Ⅰ）求成绩在
的频率，并补全此频率分布直方图；

（Ⅱ）求这次考试平均分的估计值；

（Ⅲ）若从成绩在
和
的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率.

19.(本小题满分12分)

如图甲，⊙
的直径
，圆上两点
在直径
的两侧，使
．沿直径
折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），
为
的中点，
为
的中点．
为
的动点，根据图乙解答下列各题：

（Ⅰ）求三棱锥
的体积．

（Ⅱ）在线段BD上是否存在一点
，使得
∥平面
？若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

20. (本小题满分12分)

已知圆
,圆
,动圆
与圆
外切并与圆
内切，圆心
的轨迹为曲线
.

（Ⅰ）求
的方程.

（Ⅱ）若直线
与曲线
交于
两点，问是否在
轴上存在一点
，使得当
变动时总有
? 若存在，请说明理由.

21. (本小题满分12分)

设函数
，曲线
过点
，且在点
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）证明：当
时，
；

（Ⅲ）若当
时,
恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22.(本小题满分10分)选修4－1:几何证明选讲

如图，
，
是⊙
上的两点，
为⊙
外一点，连结
，
分别交⊙
于点
，
，且
，连结
并延长至
，使∠
∠
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，且
，求
．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线
的极坐标方程为
，直线l的极坐标方程为
.[:]

（Ⅰ）写出曲线
与直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设
为曲线
上一动点，求
点到直线
距离的最小值.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）设
为正实数，且
，求证：
．

2016年大庆实验中学

文科数学仿真模拟试题答案

一、DCBAC CCBDD DB

二、13.
14.-1 15.
16.

三、17.(1)由
有,
,又
,

所以
是以3位首项,3为公比的等比数列

(2)

18．（Ⅰ）由题意得成绩在
的频率为
，

频率分布直方图如图所示；

（Ⅱ）由题意可得这次考试平均分的估计值为：
；

（Ⅲ）由题意可得，成绩在
的人数为
，记他们分别是
，成绩在
的人数为
，记他们分别是
，则从成绩在
和
的学生中任选两人的结果分别是

,
,

，共
种，事件他们的成绩在同一分组区间的结果是
,
,
，共
种，所以所求事件的概率为
.

19．解：（1）在图甲中，已知AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，

则AB=2，∠DAB=
，则有AD=
，BD=
，

则S△ABD=
ADBD=
．

由∠CAB=
，则OC⊥AB，OC=
AB=1．

在图乙中，已知平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，

则有OC⊥平面ABD，

则VD﹣ABC=VC﹣ABD=
=
=
．

（2）存在线段BD的中点G，使得FG∥平面ACD，

理由如下：取BD中点G，连结FG，

由F，G分别是BC，BD的中点，

则FG∥CD，由FG不在平面ACD 内，CD?平面ACD，则 FG∥平面ACD．

20.解：（1）圆
的圆心为
半径
圆
的圆心
半径

设圆
的圆心为
半径为
因为圆
与圆
外切并与圆
内切，

所以

由椭圆的定义可知，曲线
是以
为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为
的椭圆（左顶点除外），其方程为
.

（2）假设存在
满足
.设

联立
得
，由韦达定理有
①，其中
恒成立，

由
(显然
的斜率存在)，故
即
②，

由
两点在直线
上，将
代入②得

，

即
③

将①代入③有：
④，

要使得④与
的取值无关，当且仅当“
“时成立，

综上所述存在
，使得当
变化时，总有
.

21.（Ⅰ）解：
，

，


，
．

（Ⅱ）证明：
，

设
，
，

由
，

在
上单调递增，

，

在
上单调递增，

．

．

（Ⅲ）解：设
,