大庆一中高三年级下学期寒假验收测试

数学试卷（理）

一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 M ={x|
}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =（ ）

A． [1,2] B． [1,2） C．[2,3] D．[2,3]

2. 设复数
满足
则
＝（ ）

A.
B.
C.
D.

3.
（ ）

A、充分而不必要条件 B、 必要而不充分条件 C、 充要条件 D、既不充分也不必要条件

4. 由曲线
，直线
及
轴所围成的图形的面积为( )

A．
B．
C．4 D．6

5.已知定义在
上的函数
，记
，
，
，则
的大小关系为（ ）

A、
B、
C、
D、

6.若
满足约束条件
,则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 在等差数列
中，
，则数列
前
项的和
等于 ( )

(A)24 (B)48 (C)72 (D)108

8.已知一棱锥的三视图如图所示,其中侧视图和俯视图都是

等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则该棱锥的体积为( )

A.8 B.16 C.32 D.48

9.要得到函数y=
cosx的图像，只需将函数y=
sin(2x+
)的图像上所有的点的 ( )

A.横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变)，再向左平行移动
个单位长度

B．横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变)，再向右平行移动
个单位长度

C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动
个单位长度

D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动
个单位长度

10. 在平面直角坐标系
中，圆C的方程为
，若直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（ ）

A．
B.
C．
D.

11.已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

12.已知方程
在
上有两个不同的解
，
（
＜
），则下面结论正确的是 (　　)

A．
B．

C．
D．

二．填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.

13. 已知向量
夹角为
，且
；则

14. 已知
，
且
，则
的最小值为 .

15．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若|OA|＝b，则该双曲线的离心率为________．

16.定义区间
长度为
，已知函数
的定义域与值域都是
，则区间
取最大长度时
的值为___________

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）设f（x）=
2（x+
）.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（
）=0,a=1,求△ABC面积的最大值。

18．（本小题满分12分）已知数列
满足
.

（1）求数列
的通项公式;

（2）设
为数列
的前
项和,求证:
.

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA =AB=BC =2，AD =1．M是棱SB的中点．

（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；

（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为
，求sin
的最大值，

20．（本小题满分12分）已知顶点为原点O的抛物线
的焦点
与椭圆
的右焦点重合，
与
在第一和第四象限的交点分别为A、B．

（1）若△AOB是边长为
的正三角形，求抛物线
的方程；

（2）若
，求椭圆
的离心率
；

（3）点
为椭圆
上的任一点，若直线
、
分别与
轴交于点
和
，

证明：
．

21．（本小题满分12分）定义在
上的函数
满足
，
．

（1）求函数
的解析式；

（2）求函数
的单调区间；

（3）如果
、
、
满足
，那么称
比
更靠近
． 当
且
时，试比较
和
哪个更靠近
，并说明理由．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，多答按所答第一题评分。

22（本小题满分10分）如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.

(1)求证：AD∥EC；

(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．

23（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l的方程为
，曲线
（
是参数）。

(1)求直线l的直角坐标方程与曲线W的普通方程及；

(2)若点P在直线l上，Q在曲线W上，求
的最小值．

24（本小题满分10分）已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

大庆一中高三年级开学验收试卷数学(理科)参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

B

A

D

D

B

C

A

C

D



二、填空题（共4小题,每小题5分，共20分）

13.
； 14. 8； 15.  ； 16. 3

.

三、解答题：（共6小题,共80分）

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意

……………………3分

由

可得

由

得

所以
的单调递增区间是
（
）

单调递减区间是
（
）……………………………………6分

（II）

由题意A是锐角，所以
…………………………………8分

由余弦定理：

，且当
时成立

面积最大值为
…………………12分

18．（本小题满分12分）

解:(1)
,
………………2分

又∵
,∴
…………………………3分

∴数列
是首项为2,公比为2的等比数列.………………4分

, ∴
.………………………………5分

(2)∵
…………………………6分

∴
①

∴
② ………………………7分

①-②,得

………………9分

∴
………………………………10分

∵
，∴

又∵
，∴
，∴

∴
.……………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

，
，
，
，
，
.

则
.

设平面SCD的法向量是
则

即

令
，则
，于是
.

，
.

AM∥平面SCD. ……………………………………………………（4分）

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为
.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为
，

则
，即
.

平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为
.………………………………（8分）

（Ⅲ）设
，则
.

又，面SAB的法向量为
，

所以，
.

.

当
，即
时，
.………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（1）设椭圆的右焦点为
，依题意得抛物线的方程为
………1分

∵△
是边长为
的正三角形，∴点A的坐标是
， ……… 2分

代入抛物线的方程
解得
，故所求抛物线
的方程为
…………3分

（2）∵
, ∴ 点
的横坐标是
代入椭圆方程解得
，即点
的坐标是

∵ 点
在抛物线
上，∴
，……………5分

将
代入上式整理得：
，即
，

解得
……7分∵
，故所求椭圆
的离心率
。………7分

（3）证明：设
，

而直线
的方程为
…………8分

令
得
。…………9分

在
中，以
代换
得
…………10分

∴
，又因为点A，B在椭圆上，所以有

，代入上式得

…………12分

21．（本小题满分12分）

21．（1）
（2）当
时，函数
的单调递增区间为
；当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
（3）见解析

【命题立意】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况． 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求．

【解析】（1）
，所以
，即
． 又
，

所以
，所以
． 4分

（2）
，

． 5分

①当
时，
，函数
在
上单调递增； 6分

②当
时，由
得
，

∴
时，
，
单调递减；
时，

，
单调递增．

综上，当
时，函数
的单调递增区间为
；当
时，

函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
． 8分

（3）解：设
，

，

在
上为减函数，又
，

当
时，
，当
时，
．

，
，

在
上为增函数，又
，

时，
，

在
上为增函数，

．

①当
时，
，

设
，则
，

在
上为减函数，

，

，

，

，

比
更靠近
．

②当
时，
，

设
，则
，
，

在
时为减函数，

，

在
时为减函数，

，

，

比
更靠近
．

综上：在
时，
比
更靠近
． 12分

22、(1)证明　连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D，

又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.

(2)解　设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.①

∵AD∥EC，∴＝，∴＝②

由①②可得