2016年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷（文史类）

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第 I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2． 设命题
：若
，
，则
；命题
：若函数

，则对任意
都有
成立．在命题①

； ②

； ③
； ④
中，真命题是

A．①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④

3．已知复数
，则

A．
B．
C．
D．

4．口袋中有四个小球，其中一个黑球三个白球，从中随机取出两个球，则取到的两个球同色的概率为

A．
B．
C．
D．

5．已知
，
满足约束条件
则目标函数
的最大值为

A．
B．
C．
D．

6．已知函数
（
）的图象过点
，如图，则
的值为

A．
B．

C．
或
D．
或

7．在平面直角坐标系中，双曲线
过点
，且其两条渐近线的方程分别为
和
，则双曲线
的标准方程为

A．
B．

C．
或
D．

8．如图，给出的是求
……
的值的一个

程序框图，则判断框内填入的条件是

A．
B．

C．
D．

9．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为

B．

C．
D．

10． 已知数列
为等差数列，且公差
，数列
为等比数列，若
，
，则

A．
B．
C．
D．
与
大小无法确定

11．等腰直角
中，
，
，
在
轴上，有一个半径为
的圆
沿
轴向
滚动，并沿
的表面滚过，则圆心
的大致轨迹是（虚线为各段弧

所在圆的半径）

A． B． C． D．

12．已知函数
，若函数
恰有一个零点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

2016哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷（文史类）

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13．已知圆
，则过点
的圆
的切线方程为 ．

14．数列
中，
，当
时，
，则数列
的通项公式为 ．

15．点
在
的边
所在直线上，且满足
（
），则在平面直角坐标系中，动点
的轨迹的普通方程为 ．

16．四棱锥
的底面是边长为
的正方形，高为1，其外接球半径为
，则正方形
的中心与点
之间的距离为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

已知

（Ⅰ）若
，求
的值域；

（Ⅱ）在
中，
为
边所对的内角若
，
，求
的最大值．

18．（本小题满分12分）

某汽车公司为了考查某4S店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访调查，每个用户在到此店维修或保养后可以对该店进行打分，最高分为10分．上个月公司对该4S店的100位到店维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：第一组[0,2)，第二组[2,4)，第三组[4,6)，第四组[6,8)，第五组[8,10]，得到频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）分别求第四、五组的频率；

（Ⅱ）该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取6名客户进行深入调查，之

后将从这6人中随机抽取2人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率．

19．（本小题满分12分）

棱长为1的正方体
中，沿平面
将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线
的平面
与线段
交于点
．

（Ⅰ）当
与
重合时，求证：
；

（Ⅱ）当平面
平面
时，求平面
分几何体所得两部分体积之比．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线
，过其焦点作斜率为1的直线
交抛物线C于M、N两点，且
．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D(0，4)，若动圆P与x轴交于A、B两点，且
，求
的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，函数

，其中
为大于零的常数．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求证：
．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

等腰梯形
中，
∥
，
、
交于点
，
平分
，
为梯形
外接圆的切线，交
的延长线于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，
，
，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
(
为参数)， 在以
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的方程为
．

（Ⅰ）求曲线
、
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若
、
分别为曲线
、
上的任意点，求
的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
，不等式
恒成立，求实数a的取值范围．

2016年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷（文史类）答案

一、选择题

DDAB CABB BCDB

二、填空题

13．
14．
15．
16．

17．（Ⅰ）
， -------------3分

，
的值域为
；-------------6分

（Ⅱ）
，
，
，

-------------9分

，

．

的最大值为
． -------------12分

18．解：(1)由直方图知，第四组的频率为
，第五组的频率为
所以第四、五组的频率分别为
和
． ………………………4分

(2) 由直方图知，第二、三组客户人数分别为10人和20人，所以抽出的6人中，第二组有2人，设为A，B，第三组有4人，设为a,b,c,d．

从中随机抽取2人的所有情况如下：

AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种．…8分

其中，两人来自不同组的情况共有8种， ………………………10分

所以，得到奖励的人来自不同组的概率为
． ………………………12分

19．（Ⅰ）连接
，在正方形
中，
，

正方体
中，
平面
，

平面
，
，
平面
，

，即
；-------------4分

（Ⅱ）当
为
中点时，

取
、
中点分别为
、
，链接
、
、
，

，且
，

四边形
为平行四边形，
，

平面
平面
，
，

平面
，
平面
，

平面
平面
．-------------8分

设
，
，

，

．-------------12分

20． 解：(1) 设抛物线的焦点为
，则直线
，

由
，得
………………………2分

，
，

，
………………………4分

抛物线
的方程为
………………………5分

(2) 设动圆圆心
，则
，

且圆
，

令
，整理得：
，

解得：
， ………………………7分

，…………9分

当
时，
，

当
时，
，
，
，

，

所以
的最小值为
． ………………………12分

21．（1）解：
，----------------------------------------------------------------1分

令
得
，则
在
上单调递增；

令
得
，则
在
上单调递减。---------------------3分

（2）
.令
，---------4分

则
，

令
，

则
，故
在
上单调递增。-------------------------6分

而
，