2016年三校联考数学试题（文科）

注意事项

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合
，
，
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

2、已知
为虚数单位，复数
，则复数
的虚部是（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 下列判断错误的是（ ）

A．“
”是“
< b”的充分不必要条件

B．命题“
，
”的否定是“
，
”

C．若p,q均为假命题，则
为假命题

D．若
> b，则

4．几何体的三视图如下，则它的体积是（ ）

A．
B.
C.
D.

5. 设
，
，
,则（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 向量
满足
则向量
与
的夹角为（ ）

A．
　　　 B．
　　　　C．
　　　　　 D．

7. 执行右边的程序框图，则输出的S是（ ）

5040

4850

C.2450

D.2550

8. 等比数列
的前
成等差数列，若
=1，则
为（ ）

A. 15 B. 8 C. 7 D. 16

9．如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝
，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为( ).

A．
B．
C．
D．

10. 将函数f(x)＝sinωx（其中ω＞0）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于x＝对称，则ω的最小值是（ ）

A. 6 B.  C.  D.

11. 双曲线
的离心率
，则以双曲线的两条渐近线与抛物线
的交点为顶点的三角形的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 已知函数
，若函数
在R上有两个零点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

13. 若变量
，
满足约束条件
，则
的最大值等于

14．在数列
中，已知
，则
=

15．已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为__________。

16. 直线
与圆
相交于
,
两点，若
，则实数
的值

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分） 已知函数
．

(1)求函数
的单调递增区间；

(2)在
中，内角
所对边的长分别是
，若
，求
的面积
的值．

18. （本小题满分12分） 某校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：

喜欢统计课程

不喜欢统计课程



男生

20

5



女生

10

20



（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？

（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．

临界值参考:

0.10

0.05

0.25

0.010

0.005

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





（参考公式：
，其中
）

19. （本小题满分12分） 如图所示，在所有棱长都为
的三棱柱
中，侧棱
，
点为棱
的中点．

(1)求证：
∥平面
；

(2)求四棱锥
的体积．

20. （本小题满分12分）已知椭圆

的左、右焦点分别为F1（-3,0），F2（3,0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点。

（1）若三角形AF1F2的周长为
，求椭圆的标准方程；

（2）若|k|>
，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围。

21.（本小题满分12分）已知函数
，
.

(1)设曲线
在
处的切线与直线
平行，求此切线方程；

(2)当
时，令函数
，求函数
在定义域内的极值点；

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，
为圆
的直径，
，
为圆
的切线，

，
为切点.

⑴ 求证：
；

⑵ 若圆
的半径为2，求
的值.

23.（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点D为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．己知直线
：ρ= 一
，曲线C：
（
为参数）．

(l)将直线
化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程：

(2)若将直线，向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值

24.（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）若
，解不等式
；

（2）如果
，求
的取值范围．

2016年三校联考数学试题答案（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

D

A

C

C

D

A

C

B

C

D





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

13．【答案】10 14．【答案】

15．【答案】
16．【答案】

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

【答案】(1)
；(2)
．

【解析】(1)∵
，

∴
.

由
，解得
.

∴函数
的单调递增区间是
. …………………6分

(2)∵在
中，
，

∴
解得
.

又
，

∴
.

依据正弦定理，有
.

∴
.

∴
. ………………………………12分

18. （本小题满分12分）

【答案】(1) 有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关；(2)
.

【解析】试题分析：(1)利用公式
求出
的观测值，结合临界值表得出结论.

(2)首先利用分层抽样的原理确定样本中男生、女生的人数，然后利用古典概型的概率计算公式求解.

试题解析：解：（Ⅰ）由公式
，

所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． …………………6分

（Ⅱ）设所抽样本中有m个男生，则
人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作
从中任选2人的基本事件有

，共15个，其中恰有1名男生和1名女生的事件有



，共8个，所以恰有1名男生和1名女生的概率为
． …… ………12分

19. （本小题满分12分）

【答案】（1）证明详见解析；（2）
.

【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、四棱锥的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力.第一问，作出辅助线
，根据
是
的中位线，得
∥
，再根据线面平行的判定，得
∥平面
；由
为正三角形，得

，而
平面
，可转化为
平面
，则利用线面垂直的性质，得

，利用线面垂直的判定得
平面
，则可以判断
是四棱锥
的高，最后利用四棱锥的体积公式计算即可.

试题解析：(1)连结
，设
与
交于点
，

则点
是
的中点，连结
，

因为
点为
的中点，

所以
是
的中位线，

所以
∥
，

因为
平面
，
面
，

所以
∥平面
. ……………4分

(2)取线段
中点
，连结
，

∵
，点
为线段
中点，

∴

.

又
平面

即
平面
，
平面

∴

，

∵


，

∴
平面
，则
是四棱锥
的高

. ………………12分

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得
，得
.

，解得
，
.

所以，椭圆的方程为
. ……4分

（Ⅱ）由
得
.

设
.

所以
，

易知，
，

因为
，
，

所以
.

即
，

将其整理为
.

因为
，所以
，即

所以离心率
. ………………12分

21.（本小题满分12分）

【答案】(1)
；(2)当
时，
在定义域内无极值；当
时，
的极大值点为
，无极小值点；(3)
.

【解析】(1)由题意知：
，

，
，切点为

此切线方程为
，即
. ………………4分

(2)当
时，
，定义域为
，

当
时，
恒成立，
在
上为增函数，

在定义域内无极值；

当
时，令
，
或
(舍去)，











＋



－





↗

极大值

↘





的极大值点为
，无极小值点；

综上：当
时，
在定义域内无极值；

当
时，
的极大值点为
，无极小值点. …………………………12分

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.

【试题解析】解： (1) 连接
是圆
的两条切线，
， 又