2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第六次适应性训练

数学（文）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知复数
满足
，则

A．
B．
C．
D．

2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534

石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为

A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石

3．设
，则“
”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 若
，且
为第四象限角，则
的值等于

A.
B.
C.
D.

5．设命题P：

，则
是

A.

B.

C.

D.

6．已知长方体
的所有顶点都在球
的球面上，
，
,则球
的球面面积为

A．
B．
C．
D．

7．
的三内角
所对边长分别是
，若
，则角
的大小为

A．
B．
C．
D．

8．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为

A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元

甲

乙

原料限额



A（吨）

3

2

12



B（吨）

1

2

8



9．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

A．
B.
C.
D.

10．已知圆
：
，直线
：
，则

A．
与
相离 B．
与
相切

C．
与
相交 D．以上三个选项均有可能

11．已知
为平面内两定点,过该平面内动点
作直线
的垂线,垂足为
.若
,其中
为常数,则动点
的轨迹不可能是

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

12．设函数
，则使得
成立的x的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．执行右图所示的程序框图，输出结果
的值是 ．

14. 等差数列
中，
，则
.

15．在长为
的线段
上任取一点
.现作一矩形，邻边长分别等于线段
的长，则该矩形面积小于
的概率为 .

16．已知
是双曲线
的右焦点，
是
的左支上一点，
）.当
周长最小时，该三角形的面积为 .

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．

17. (本小题满分12分)

某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为

（1）求频率分布直方图中
的值；

（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（3）从评分在
的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在
的概率.

18. (本小题满分12分)

已知数列
满足
，

（1）证明：
是等比数列，并求
的通项公式；

（2）证明：
.

19．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱
的底面是边长为2的正三角形，
分别是
的中点.

（1）证明：平面
⊥平面
；

（2）若直线
与平面
所成的角为45°，求三棱锥
的体积.

20．（本小题共12分）

已知抛物线：
的焦点
在双曲线：
的右准线上，抛物线与直线
交于
两点，
的延长线与抛物线交于
两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若
的面积等于
，

①求
的值；

②求直线
的斜率.

21. (本小题满分12分)

已知函数
（
）

（1）求
的最小值；

（2）若
，判断方程
在区间
内实数解的个数；

（3）证明：对任意给定的
，总存在正数
，使得当
时，恒有
.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22．（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且
，求四边形EBCF的面积。

23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1：
（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
，C3：
。

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求
的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲

设
均为正数，且
，证明：

（1）若
，则
；

（2）若
，则
.

2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第六次适应性训练

数学（文）参考答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.

1. D 2．B 3．A 4．D　 5. B 6. C

7．B 8．D 9．D 10．C 11. C 12. A

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．1 14. 28 15．
16．

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．

17.解：（1）因为
，所以
.………4分

（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为
，

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. ………8分

（3）受访职工中评分在
的有：
（人），记为
；

受访职工中评分在
的有：
（人），记为
.

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
，

，

又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即
，

设“所抽取2人的评分都在[40,50)”为事件
，则
.………12分

18． 证明：（1）
，

故
是首项为
，公比为
的等比数列，且

故
………6分

(2)

故
………12分

19．解：（1）如图，因为三棱柱
是直三棱柱，所以
，

又
是正三角形
的边
的中点，所以

又
，因此
平面

而
平面
，所以平面
平面
………6分

（2）设
的中点为
，连结

因为
是正三角形，所以

又三棱柱
是直三棱柱，所以

因此
平面
，于是
为直线
与平面
所成的角，

由题设，
，所以

在
中，
，所以

故三棱锥
的体积
………12分

20．解：（1）双曲线：
的右准线方程为：

所以
，则抛物线的方程为：
………4分

（2）设

由
得

①

解得
………8分

②

设
则

因为
共线，所以
即

解得：
（舍）或

所以
同理

故

………12分

21.解：（1）

当
时，
，当
时，
，

所以
在
单调递减，在
单调递增，

从而
………4分

（2）
时，

因为
，
，且
的图像是连续的，

所以
在区间
内有实数解；

又当
时，
，所以
在
上单调递减，

从而
在区间
内至多有一个实数解，

故
在区间
内有唯一的有实数解. ………8分

(3)证明：由（1）知：

所以
时，
①

由
得：

所以
时，
②

由①②知：取
，则当
时，

有
即
成立. ………12分

22．解：（1）由于
是等腰三角形，
，所以
是
的平分线

又因为
分别与AB，AC相切于点E，F，所以
，故