西安市第一中学

2016届高三第二学期第一次模拟考试

数学(文科)试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 设集合
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 若
（其中
为虚数单位），则
等于（ ）

A．1　　　　 　　B.
　　　 C.
　　 　　D.

3． 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知
，那么

A．
B．
C．
D．

5．执行如图1所示的程序框图，若输入
的值为3，则输出
的值是

A．1 B．2 C．4 D．7

6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是

A．
B．
C．
D．

7. 在函数①
，②
，③
,④
中，最小正周期为
的所有函数为

A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③

8. 已知
为
的边
的中点，
所在平面内有一个点
，满足
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
,
满足约束条件
,若
的最小值为
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为
，离心率等于
，则C的方程是

A．
B．
C．
D．

11. 在
中，

是
边上的一点，
，
的面积为
，则
的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 已知函数
，则函数
的大致图像为（ ）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_____________．

14．若曲线
在点
处的切线平行于
轴，则
．

15．设数列
是首项为
，公比为
的等比数列，则
.

16.
是同一球面上的四个点,其中
是正三角形,
⊥平面
，
,则该球的表面积为_________.

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17．(本小题满分12分) 已知数列
中，
，其前
项的和为
，且满足

.

（I） 求证：数列
是等差数列；

（II） 证明：当
时，
.

驾校

驾校A

驾校B

驾校C



人数

150

200

250



18．(本小题满分12分) 截至2014年11月27目，我国机动车驾驶人数量突破3亿大关，年均增长超过两千万．为了解某地区驾驶预考人员的现状，选择A，B,C三个驾校进行调查．参加各驾校科目一预考人数如下：

若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取24人进行分析，他们的成绩如下：

87

97

91

92

93

99

97

86

92

98

92

94



87

89

99

92

99

92

93

76

70

90

92

64





（I）求三个驾校分别应抽多少人?

（II）补全下面的茎叶图，并求样本的众数和极差；

(Ⅲ)在对数据进一步分析时，满足｜x－96．5｜≤4的预考成绩，称为具有M特性．在样本中随机抽取一人，求此人的预考成绩具有M特性的概率．

19．(本小题满分12分)如图，已知
平面
，四边形
为矩形，四边形
为直角梯形，
，
，
，
．

（I）求证：
平面
；

（II）求证：
平面
；

(Ⅲ)求三棱锥
的体积．

20．(本小题满分12分) 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.

（I）求椭圆C的离心率；

（II）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．

（I）求a，b的值；

（II）证明：当x>0，且
时，
．

请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22.已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的

延长线交于点E，且EF切⊙O于F．

（Ⅰ）求证：EB=2ED；

（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．

23.在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：
（t为参数），两曲线相交于M，N两点．

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．

24.设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．

（1）求a的值；

（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．

.

西安市第一中学

2016届高三第二学期第一次模拟考试

数学(文科)答案

一、选择题： DCDCCB ACBDDA

二、填空题 13.1 14.
15. 15 16. 32

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17. 解：（Ⅰ）当
时，
，
，
，

从而
构成以1为首项，2为公差的等差数列. --------------------------------6

（Ⅱ）由（1）可知，
，
.

当
时，
.

从而
。------12

18． 解：（I）因为四边形
为矩形，

所以
平面
，
平面
，

所以
平面
． -------------------------------------4

（II）过
作
，垂足为
，

因为
所以四边形
为矩形．

所以
，又因为
所以
，
，

所以
，所以
；

因为

平面
，
所以

平面
，所以
，

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
． -------------------------------------------------------8

（III）因为

平面
，所以
，

又因为
，
平面
，
平面
，

所以
平面
．

--------------------------------------12

19. 解：（1）用分层抽样的方法从三个驾校分别抽取：

驾校A:
人 驾校B：
人 驾校C：
人---------4

（2）补全的茎叶图为





































9

0

1

2

2

2

2

2

2

3

3

4

7

7

8

9

9

9



8

6

7

7

9





























7

0

6

































6

4



































众数为：92

极差为：99-64=35---------------------------------------------------------8

（3）设事件A=“预考成绩具有M特性”。满足
的预考成绩为：

共9个，所以P(A)=
------------------------------------------------12

20．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.

故椭圆C的离心率e＝＝.----------------------------------------------------------------------5

(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.

因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.

又x＋2y＝4，所以

|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2

＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4

＝＋＋4　(0＜x≤4)．

因为＋≥4(0＜x≤4)，当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.

故线段AB长度的最小值为2.----------------------------------------------------------------------12

21．（Ⅰ）

由于直线
的斜率为
，且过点
，故
即

解得
，
。------------------------------------------------5

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，所以

考虑函数


，则

所以当
时，
故

当
时，
当
时，

从而当
------------------------------------12

22.证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠C，又∵∠DEA=∠BEC，∴△AED∽△CEB，

∴ED：EB=AD：BC=1：2，即EB=2ED；

（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．∴EF2=ED?EC=EA?EB，设DE=x，则由AB=2，CD=5得：

x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3，∴EF2=24，即EF=2

23.解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，

用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．

（Ⅱ）直线l的参数方程为：
（t为参数），

代入y2=4x，得到
，设M，N对应的参数分别为t1，t2，

则 t1+t2=12
，t1?t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=
．

24.解：（1）函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到4、a对应点的距离之和，

它的最小值为|a﹣4|=3，再结合a＞1，可得a=7．

（2）f（x）=|x﹣4|+|x﹣7|=
，故由f（x）≤5可得，

①，或
②，或
③．

解①求得3≤x＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，

所以不等式的解集为．

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