陕西省西北工业大学附属中学2016届高三第九次适应性考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知全集U=R，集合
则
( )

A．
B．
C．
D．

2．若
;
是偶函数,则p是q的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．
在区间
中任意取一个值，则使
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知向量
满足
且
，

则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．阅读如图所示的程序框图,若输入
,

则输出的
值是（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

6．椭圆C的两个焦点分别为
和
，若该椭圆C与直线
有公共点，则其离心率的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．在棱长为1的正方体
中，M是BC的中点，P、Q是正方体内部或面上的两个动点，则
的最大值是（ ）

A．
B． 2 C．
D．

8．若直线
与圆
相交于A、B两点，且
是直角三角形（O为坐标原点），则点
与点
之间距离的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若
的展开式中，第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（ ）

A．-84 B．-252 C． 252 D．84

10．抛物线
的焦点为F，点
为该抛物线上的动点，又点
,则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．若
，且
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

12．对于三次函数
给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数．若方程
有实数解
，则称点
是函数
的“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数
，则

A．2013 B．2 C．2015 D．1008

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二．填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 种．

14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

15．在
中，内角
的对边分别为
且
，则
= ．

16．函数
的零点个数为_________．

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．

17．(本小题共12分)数列
的前
项和为
，若

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
求数列
的前
项和
．

18．(本小题共12分)甲袋中装有大小相同的白球1个，红球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．

（1）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；

（2）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量
，求
的分布列和数学期望．

19．(本小题共12分) 如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，
，
交
于
，

(1)证明:
;

(2) 求平面
与
所成的锐角二面角的余弦值．

20．（本小题12分）如图，已知椭圆

，点
的坐标为
，过点
的直线交椭圆
于另外一点
，且线段
的中点
（
异于原点）在直线
上．

（I）求直线
的方程；

（II）若点
为椭圆
上异于
的任意一点，直线
分别交直线
于
两点，直线
交椭圆
于另外一点
．

①求
的值；

②证明：
三点共线．

21．（本小题共12分）已知函数

（1）若
，试确定函数
的单调区间；

（2）若
，且对于任意
，
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（3）设函数
，求证：
．

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22.（本小题10分）选修4-1:几何证明选讲

已知
为圆
上的四点，过
作圆
的切线交
的延长线于点
，且
,
.

（I）求弦
的长；

（II)求圆
的半径
的值．

23．（本小题10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知圆
，将圆
上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的
，得到曲线
．

（I）写出曲线
的参数方程；

（II）设直线
与曲线
相交于
两点，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
过线段
的中点，且倾斜角是直线
的倾斜角的2倍，求直线
的极坐标方程．

24.（本小题10分）选修4-5:不等式选讲

（I）若关于
的不等式
的解集是空集，求实数
的取值范围；

（II）对任意正实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

参考答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.

1. A 2．A 3．C 4．D　 5. B 6. B

7． C 8．C 9．D 10．B 11. C 12. C

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．216 14.
15．
16． 2

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．

17. 解：(1)
(2)

18．解答 （Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，则：

∴

故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为
．

（Ⅱ）
＝0、1、2．

，
，

∴
的分布列为

0

1

2



P




[来源:Z+xx+k.Com]





∴
=

19.解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM
平面ABC，∴EA⊥BM．又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，而EM
平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=
，BC=2，AM=3，CM=1．

∵EA⊥平面ABC，FC‖EA，
∴FC⊥平面ABCD．

∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．

∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．

∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．而BF
平面MBF，∴EM⊥BF．（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG
平面ABC，∴FC⊥BG．而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG，

∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角． 在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，∴BM=AB?sin
=
．由
．

∵
与
相似，
,
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

解法二：如图：以A为坐标原点，AC、AE分别为y轴和Z轴建立空间直角坐标系,

由已知得
,
,

设平面
的法向量为
，

由

得

令
，由已知
得平面ABC的一个法向量为

设平面
与
所成的锐角二面角为
，

则

所以，平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

20.解（I）设
，则点
，
在椭圆上，

，解得
，

所以直线
的方程为
。

（II）解：①设
，则
，

直线
的方程为
，

与直线
联立解得
，直线
的方程为
，与直线
联立解得
，

②若
,则

,则直线
与直线
平行，与已知矛盾。

,设直线
的方程为
与椭圆
的方程联立得

，欲证
三点共线，只需证

即证
,将
代入，即证
,由①可知
所以
三点共线。

21. （1）当
时，
，
．