长春市普通高中2016届高三质量监测（三）

数学理科（试卷类型A）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）

1. 设集合
，
，则

A.
　　 B.
C.
D.

2. 复数
，
在复平面内对应的点关于虚轴对称，若
，则

A.
B.
C.
D.

3. 已知向量
，
，则

A.　　
B.
C.
　 D.

4. 已知函数
，则

A.
　B.
C.
D.

5. 已知实数
，且
，则
的概率为

A.
　　B.
C.
　D.

6. 已知
，
为第一象限角，则

A.　
B.
C.　
D.

7. 如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A.
　　 B.
C.
D.

8. 将函数
的图象向右平移
个单位后的图象关于
对称，则函数
在
上的最小值为

A.
　　 B.
C.
　 D.

9. 按右图所示的程序框图，若输入
，则输出的



A.
B.
C.
D.

10. 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，以
为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，若圆
和双曲线的一个交点为
, 满足
，则双曲线的离心率是

A.
　　B.
C.
　D.

11. 在
中，
是
中点，已知
,则
的形状为

A.　等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

12. 定义在
上的偶函数
，满足
，当
时，总有

，则
的解集为

A.
　　 B.

C.　
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13. 已知实数
满足
，则
的最大值为___________.

14.设函数
的图象与
轴的交点为
，则曲线
在点
处的切线方程为_________.

15. 在椭圆
上有两个动点
，点
，满足
，则
的最大值为__.

16. 如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥
内接于半径为
的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为___________.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（本小题满分12分）

已知数列
满足
，
.

（1）求证：数列
为等比数列；

（2）令
，求数列
的前
项和为
.

18. （本小题满分12分）

某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生
人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：
）：

男生成绩不低于
的定义为“合格”，成绩低于
的定义为“不合格”；女生成绩不低于
的定义为“合格”，成绩低于
的定义为“不合格”.

(1)求女生立定跳远成绩的中位数；

(2)若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取
个人，求抽取成绩“合格”的男生人数；

（3）若从全班成绩“合格”的学生中抽取
人参加选拔测试，用
表示其中男生的人数，试写出
的分布列，并求
的数学期望.

19. （本小题满分12分）

已知等腰梯形
如图
所示，其中
∥
，
分别为
和
的中点，且
，
，
为
中点，现将梯形
按
所在直线折起，使平面
⊥平面
，如图
所示，
是线段
上一动点，且
.

（1）当
时，求证：
∥平面
；

（2）当
时，求二面角
的余弦值.

20. （本小题满分12分）

动点
在抛物线
上，过点
作
轴的垂线，垂足为
，设
.

(1)求点
的轨迹
的方程;

(2) 设点
,过点
的直线交轨迹
于
（不同于点
）两点，设直线
的斜率分别为
，求
的取值范围.

21. （本小题满分12分）

已知函数
.

（1）若函数
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；

（2）若
，证明：
，总有
.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.

已知四边形
为圆
的内接四边形，且
，其对角线
与
相交于点
，过点
作圆
的切线交
的延长线于点
.

（1）求证：
；

(2) 若
，求证：
.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.

已知直线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，且曲线
的左焦点
在直线
上.

（1）若直线
与曲线
交于
,
两点，求
的值；

（2）若曲线
的内接矩形的周长的最大值.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.

已知
使不等式
成立.

(1)求满足条件的实数
的集合
；

(2) 若
，对
，不等式
恒成立，求
的最小值.

长春市普通高中2016届高三质量监测（三）

数学(理科)参考答案及评分参考

一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)

1. B 2. C 3. B 4. B 5. B 6. C

7. A 8. D 9. A 10. B 11. D 12. B

简答与提示：

B【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题.

【试题解析】B 由题意可知
，所以
. 故选B.

C【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.

【试题解析】C 复数
，所以
. 故选C.

B【命题意图】本题主要考查平面向量的运算性质.

【试题解析】B 由
得
，故选B.

B【命题意图】本题考查分段函数及指数、对数运算，是一道基础题.

【试题解析】B
. 故选B.

B【命题意图】本题考查古典概型，属于基础题.

【试题解析】B 由题意，
的所有可能为

共6种，其中满足
的有4种，故概率为
. 故选B.

C【命题意图】本题考查三角函数定义及恒等变换.

【试题解析】C　由三角函数定义
，故
. 故选C.

A【命题意图】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力，属于基础题.

【试题解析】A　该几何体可以看成由两个四棱锥组成，每个四棱锥的底面面积为9，高为3，故其体积为9，所以整个几何体体积为18. 故选A.

D【命题意图】本题主要考查三角函数的图象及性质，是一道基础题.

【试题解析】D　由题可知，
，从而
，则该函数在
的最小值为
. 故选D.

A【命题意图】本题考查程序框图及进位制，属基础题.

【试题解析】A 经计算得
. 故选A.

B【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质与圆切线的性质，是一道中档题.

【试题解析】B 由题可知，
，由
，有
，整理得
，所以离心率
. 故选B.

D【命题意图】本题主要考查解三角形正弦定理的应用，是一道中档题.

【试题解析】D 如图，由题可知，
，在
中，
，在
中，
，所以
，即
，所以
或
，则此三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选D.

B【命题意图】本题考查函数导数运算、导数与单调性关系、奇偶性等综合应用，是一道较难题.

【试题解析】B 由题可知当
时，
，从而
，有函数
在
上单调递增，由函数
为偶函数，所以其在
上单调递减，由于
时
，所以
等价于
，由
，故
的解集为
或
. 故选B.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)

13. 4 14.
15. 64 16.

简答与提示：

4【命题意图】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查.

【试题解析】令
，根据可行域及的几何意义，可确定最优解为