重庆南开中学高2016级高三（下）3月月考

数学试题（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、若集合
，集合
，则图中阴影部分表示（ ）

A、
B、

C、
D、

2、等比数列
满足
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

3、设
为虚数单位且
的共轭复数是
，若
，则
的虚部为（ ）

A、
B、
C、2 D、

4、现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（ ）

A、27 B、54 C、108 D、144

5、执行右图所示的程序框图，输出的
值为（ ）

A、5

B、6

C、7

D、8

6、在
中
，
的垂直平分线交
边所在直线于
点，

则
的值为（ ）

A、
B、

C、
D、

7、某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的各侧面中

最大的侧面的面积为（ ）

A、4 B、8

C、
D、

8、已知圆
，在线段
上任取一点
，过点
作圆
的切线，则“点
与切点的距离不大于3”的概率
为（ ）

A、
B、
C、
D、

9、如图，将绘有函数
部分图象的纸片沿
轴折成直二面角，若
之间的空间距离为
，则
（ ）

A、

B、2

C、

D、

10、直三棱柱
的各顶点均在同一个球面上，若
且
，则此球的表面积为（ ）

A、20
B、16
C、8
D、4

11、已知双曲线
右支上非顶点的一点
关于原点
的对称点为
，
为其右焦点，若
，设
且
，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

12、已知函数
存在极大值，且对于
的所有可能取值，
的极大值恒小于0，则
的最大值为（ ）

A、
B、
C、
D、

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相对应位置上。

13、若二项式
的展开式中第四项为常数项，则
。

14、已知实数
满足约束条件
，则
的最小值为 。

15、已知函数
，存在
，
，则
的最大值为 。

16、在
中，
，
为
边上的点，且
，
，则
的面积的最大值为 。

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（12分）数列
的前
项和为
，若对
，
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和
。

18、（12分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如右图）。已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间
的有8人。

（1）图中
的值为 ；

（2）用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时长；

（3）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为
，求
的分布列和数学期望。

19、（12分）如图，四边形
是等腰梯形，
，
，
，在梯形
中，
，且
，
。

（1）求证：面
；

（2）若二面角
的大小为
，求几何体
的体积。

20、（12分）已知圆
，若椭圆
的右顶点为圆
的圆心，离心率为
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）若存在直线
，使得直线
与椭圆
分别交于
两点，与圆
分别交于
两点，点
在线段
上，且
，求圆
的半径
的取值范围。

21、（12分）已知函数
。

（1）求函数
的单调区间；

（2）若
满足
恒成立，则称
比
更靠近
。在函数
有极值的前提下，当
时，
比
更靠近
，试求
的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22、（10分）如图所示，已知
和
相交于
两点，过点
作
的切线交
于点
，过点
作两圆的割线，分别交
、
于点
，
与
相交于点
。

（1）证明：
；

（2）若
是
的切线，且
，
，
，求
的长。

23、（10分）在平面直角坐标系
中，以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数且
）。

（1）求曲线
的直角坐标方程和曲线
的普通方程；

（2）当曲线
和曲线
有两个公共点时，求实数
的取值范围。

24、（10分）已知函数
，且关于
的不等式
对
恒成立。

（1）求实数
的最大值
；

（2）若正实数
满足
，求
的最小值。

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