沈阳二中2015-2016学年度下学期第四次模拟考试

高三（16届）数学理科试题

命题人：周兆楠 刘宏佳 审校人：周兆楠 刘宏佳

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数
满足
，则
的虚部为( )

A.
B.
C. 4 D.

2. 已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知向量
，
满足
，
在
方向上的投影是
，则
( )

A.
B. 2 C. 0 D.

4. 命题“若
，则
”的否命题为( )

A．若
，则
且
B．若
，则
或

C．若
，则
且
D．若
，则
或

5. 已知
，则下列不等式一定成立的是( )

A.
B.
C.
D.

6. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )

A. 30尺 B. 90尺 C. 150尺 D. 180尺

7.已知
是双曲线
的一条渐近线，
是
上的一点，
是
的两个焦点，若
，则
到
轴的距离为( )

A.

B.
C.
D.

8．设
是不同的直线，
是不同的平面，下列命题中正确的是( )

A. 若
，则
B. 若
，则

C. 若
，则
D．若
，则

9. 设函数
的图像在点
处切线的斜率为
,则函数
的图像为

A B C D

10. 用随机模拟的方法估计圆周率π的近似值的程序框图如右图

所示，P表示输出的结果，则图中空白处应填( )

A.
B.

C.
D.

11. 设集合

，则使得
的实数
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

12．定义在
上的函数
，
是它的导函数,恒有
成立，则( )

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷 （90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13. 已知的展开
式中所有项的系数和为
，则
.

14. 正方体
的棱长为
，
、
分别是棱
和
的中点，则点
到平面
的距离为 .

以下命题正确的是 ．

函数
的图象向右平移
个单位，可得到
的图象；

② 函数
的最小值为
；

③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；

④ 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，
）（
）．若ξ在
内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．

16. 已知数列
的前
项和为
且
成等比数列，
成等差数列，则
等于 .

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分） 设
的内角
所对的边分别为
，已知
，
.

（Ⅰ）求角
； （Ⅱ）若
，求
的面积.

18. （本小题满分12分） 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位
（单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上
段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响.

（Ⅰ）求未来三年，至多有
年河流水位
的概率（结果用分数表示）；

（Ⅱ）该河流对沿河
企业影响如下：当
时，不会造成影响；当
时，损失
元；当
时，损失
元，为减少损失，现有三种应对方案：

方案一：防御
米的最高水位，需要工程费用
元；

方案二：防御不超过
米的水位，需要工程费用
元；

方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并说理由.

19. (本小题满分12分) 已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．

（Ⅰ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；

（Ⅱ）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

20. （本小题满分12分） 已知椭圆
的离心率为
，若
与圆E：
相交于M,N两点，且圆E在
内的弧长为
.

（I）求
的值；

（II）过
的中心作两条直线AC，BD交
于A,C和B,D四点，设直线AC的斜率为
，BD的斜率为
，且
.（1）求直线
的斜率；（2）求四边形ABCD面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）定义在R上的函数
满足
，
为常数，函数
，若函数
在
处的切线与y轴垂直.

（I）求函数
的解析式； （II）求函数
的单调区间；

（III）若
满足
恒成立，则称s比t更靠近r.在函数
有极值的前提下，当
时，
比
更靠近
，试求b的取值范围.

请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分

22．（选修4—1；几何证明选讲 本小题满分10分） 如图过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B、C两点，且
，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，

（Ⅰ）求AF的长； （Ⅱ）求证：

23．（选修4-4；坐标系与参数方程选讲 本小题满分10分） 在平面直角坐标系
中，已知直线
的参数方程为
（
为参数，
），以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
（
）

（Ⅰ）写出直线
的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于
两点，求
的值.

24．（选修4—5；不等式选讲 本小题满分10分）设函数
．

（Ⅰ）解不等式：
； （Ⅱ）若
对一切实数
均成立，求
的取值范围．

沈阳二中2015-2016学年度下学期第四次模拟考试

高三（16届）数学理科试题参考答案

（1）～（5）DBBDD (6)～（10）BCCBA (11)～（12）BB

（13）
（14）
（15）①③④ (16）-1009

（17）解：（Ⅰ）



……………2分

………………………………5分

，
…………………………………………………………6分

（Ⅱ）由
，
，
，得
…………………………7分

由
得
，从而
， ………………………………………9分

故
…………………10分

所以
的面积为
. ……………………………12分

（18）

（19） 解：(Ⅰ) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE. 证明如下：

由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2. ………………………1分

连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC. …………………………2分

∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC. ……………………3分

又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC. …………………………………………………4分

∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE. ………5分

(Ⅱ) 解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF. ………6分

∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角 ……………………………9分．

Rt△ADE中，DF＝＝, ∴BF＝.BD＝，△DFB中余弦定理得cos∠DFB＝
，∴∠DFB＝，即二面角D－AE－B的大小为. ……………………………12分

解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ………………………………………………………………………6分

D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，从而
＝(0,1,0)，

＝(－1,0,1)，
＝(1,0,0)，
＝(0，－1,1)． 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
，
由

，取
由

，取
…………………………10分

设二面角D－AE－B的平面角为θ，则
，…………11分

∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为 …………………………………………12分 (20)

，且
，所以
………………………………………12分

（22）解：（Ⅰ）延长
交圆
于点
，连接
，则
，

，
，所以
，根据切割线定理得：
，所以
.…………5分

（Ⅱ）过
作
于
，则△
∽△
,从而有
,
,所以
，因此
，即
. ……………10分

(23)解：（Ⅰ）由
得，直线
是过原点且倾斜角为
的直线.故直线
的极坐标方程为

……………………………………3分

由
得