大连市2016年高三第一次模拟考试

数学（理科）能力测试

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、集合
，集合
，则

A．
B．
C．
D．

2、设复数
在复平面内对应的点关于虚轴对称，
，则

A．
B．
C．
D．

3、已知向量
，则

A．
B．
C．
D．4

4、已知函数
，则

A．4 B．
C．
D．

5、已知
，且
，则
的概率为

A．
B．
C．
D．

6、已知
为第一象限角，则
的值为

A．
B．
C．
D．

7、如图，在长方体
中，点P是线段CD中点，则三棱锥
的左视图为

8、将函数
的图象向右平移
个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数
在
上的最小值为

A．
B．
C．
D．

9、执行如图所示的程序框图，如果输入
，则输出的结果是

A．51

B．49

C．47

D．45

10、已知双曲线
的右焦点为F，以F为

圆心和双曲线C的渐近线相切与双曲线C在第一象限的交点为M，

且MF与双曲线C的实轴垂直，则双曲线C的离心率为

A．
B．
C．
D．2

11、在
中，D是BC的中点，已知
，则
的形状为

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

12、已知偶函数
的定义域为
，且
，当
时，不等式
恒成立，那么不等式
的解集为

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.

13、若
满足约束条件
，则
的最大值为

14、在椭圆
上有两个动点
为定点，若
，则
的最小值

为

15、设G是一二非空集合，
是定义在G上的一个运算，如果满足下述四个条件：

⑴对于
，都有
；

⑵对于
，都有
；

⑶对于
，都有
；

⑷对于
，都有
；

则称G关于运算
构成一个群，先给出下列集合和运算：

①G是整数集合，
为加法；②G是奇数集合，
为乘法；③G是平面向量集合，
为数量积运算；

④G是非零复数集合，
为乘法，其中G关于运算
构成群的序号是

16、已知正四棱锥
为所有顶点都在半径为1的球面上，当正四棱锥
的体积最大时，该四棱锥的高为

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

已知数列
满足

（1）求证：
是等比数列；

（2）令
，求
的前n项和
。

18、（本小题满分12分）

某初中对初二年级的学生进行体质监测，已知初二一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下：（单位：
）

男生成绩在
以上（包括
）定义为“合格”，成绩在
以下（不包括
）定义为“不合格”；

女生成绩在
以上（包括
）定义为“合格”，成绩在
以下（不包括
）定义为“不合格”；

（1）求女生立定跳远成绩的中位数；

（2）若在男生中用分层抽样的方法抽取6个人，求抽取成绩“合格”的学生人数；

（3）若从全班成绩“合格”的学生中选取2个人参加复试，用X表示其中男生的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。

19、（本小题满分12分）

已知等腰梯形ABCD（如图（1）所示），其中
分别为AB和CD的中点，

且
为BC中点，现将梯形ABCD沿着EF所在直线折起，使平面EFCB
平面EFDA（如图（2）所示），N是线段CD上一动点，且
.

（1）当
时，求证：
平面
；

（2）当
时，求二面角
的余弦值。

20、（本小题满分12分）

已知动点P在抛物线
上，过点P作
轴的垂线，垂足为H，动点Q满足
.

（1）求动点Q的轨迹E的方程；

（2）点
，过点
且斜率为
的直线交轨迹E于A、B两点，设直线MA、MB的斜率分别

为
，求
的最小值。

21、（本小题满分12分）

已知函数

（1）若函数
存在单调减区间，求实数
的取值范围；

（2）若
，证明：
，总有
。

请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22、（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲

已知四边形ABCD为
的内接四边形，且
，其对角线AC与BD相交于点M，过点B作
的切线交DC的延长线于点P。

（1）求证：
；

（2）若
，求证：
。

23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知直线
的参数方程为
为餐宿），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
，点F的极坐标为
，且F在直线
上。

（1）若直线
与曲线C交于A、B两点，求
的值；

（2）求曲线C内接矩形的周长的最大值。

24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲

若
，使关于
的不等式
成立，设满足条件的实数
构成的集合为T。

（1）求集合T；

（2）若
，且对于
，不等式
恒成立，求
的最小值。

大连市2016年高三第一次模拟考试参考答案和评分标准

数学（理科）

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.B

二．填空题

13. 4 14.
15. ①④ 16.

三．解答题

17.解：

（Ⅰ）由题知:
，可知
，…………………………………3分

数列
是以512为首项,
为公比的等比数列 …………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，
.

， …………………………………………………………………………………8分

令
，设
的前
项和为
，则
， ……………………………10分

当
时，

当
时，

……………………………………………………………………12分

18.解：（Ⅰ）女生立定跳远成绩的中位数
cm． …………………………3分

（Ⅱ）男生中成绩“合格”有8人，“不合格”有4人，用分层抽样的方法，其中成绩“合格”的学生应抽取
人 ………………………………………………………………………6分

（III）依题意，
的取值为0,1,2，则

，
，
，

因此，
的分布列如下：

0

1

2



P









……………………………………………………………………………………………………10分

∴
．………………………………………12分

19.解：（Ⅰ）过点
作
于点
，过点
作
于点
，连接
.

由题意，

，

//
………………………………………………………………………………………2分

又
，所以

，即
，

所以四边形
为平行四边形. ………………………………………………………………4分

所以
，又因为
，

所以
平面
…………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）以
为坐标原点，
方向为
轴，
方向为
轴，
方向为
轴，

建立如图所示坐标系.

由题意，
，
，
，
，
，

平面
的法向量为
，

，
，

即可以取
……………………………………………………………………………8分

平面
的法向量为
，

，

即可以取
…………………………………………………………………………10分

则
，所以二面角
的余弦值为
.……………………12分

20.解：（Ⅰ）设点
，由
知点
为
的中点，则点
，

将点
代入
中得E的方程为：
………………………………………4分

（Ⅱ）方法一：设过点
斜率为
的直线方程为
,
.

联立
，得
，

则
………………………………………………………………………………6分

，…………………………8分

当
时（此时，点
与
均不重合），
取得最小值，最小值为1.…………12分

方法二：设过点
斜率为
的直线方程为
,
.

联立
，得
，

则
………………………………………………………………………………6分

，

，………………………………………………………………………………8分

因为

当
时（此时，点
与
均不重合），
取得最小值，最小值为1. ……12分

21.解：（I）由题

.

因为函数
存在单调减区间，所以方程
有解.

而
恒成立，所以
有解等价于
有解，

所以
. ………………………………………………………………………3分

又
，

所以，
. …………………………………………………………………………………5分

(II)因为
，所以
，

所以
.

而
，

又因为
，所以
.

要证原不等式成立，只需证明

即